Coefficiente di correlazione

[Anacleto13]

Un lotto è costituito da 15 componenti simili, dei quali 10 provengono dalla macchina M1 e 5 provengono dalla macchina M2. Ogni componente, prodotto da M1 o da M2, è non difettoso con probabilità pari a 0.8. Indicati con X ed Y il numero di componenti difettosi prodotti rispettivamente da M1 e da M2, calcolare il coefficiente di correlazione $ρX+Y,Y$ .

Per questo esercizio ho provato a fare una tabella e calcolare

$E[X]=\sum_{x=1}^10 x*0.8$

$E[Y]=\sum_{y=1}^5 y*0.8$

Ma non ne sono convinto, qualche aiuto?

[Anacleto13]

Si, esatto. ma utilizzando la definizione di correlazione

corr$[X,Y]=(Cov(x,y))/sqrt(var(x)var(y)$ non riesco a ricavare valore atteso e varianza

[Lo_zio_Tom]

...è davvero facile....

$X~B(10;0.8)$

$Y~B(5;0.8)$

con $X$ e $Y$ indipendenti...

a me viene $rho(X+Y,Y)=0.5774$

[Anacleto13]

Mentre stavo provando a fare l'esercizio ho visto che hai riposto (correttamente), ma come hai capito che X ed Y sono indipendenti? mi ero bloccato per il motivo che non avevo supposto X ed Y indipendenti...

[Anacleto13]

$frac{cov(X+Y,Y)}{sqrt(var(X+Y)var(Y))}$

$frac{cov(X+Y,Y)}{1.6*0.8}$

$frac{E(XY)+E(Y^2)-E(X+Y)*5}{1.6*0.8}$

$frac{50+E(Y^2)-75}{1.28}$

mi resta solo da calcolare $E(Y^2)$

[Lo_zio_Tom]

Per la definizione di varianza

$E[Y^2]=V[Y]+E^2[Y]$

...ma vedo diverse cose che non vanno in quella formula

$E[X]=8$
$E[Y]=4$

$V[X]=1.6$
$V[Y]=0.8$

Quindi alla fine dovresti trovarti così

$rho=(32+16.8-12*4)/sqrt(2.4*0.8)=0.5774$

ma non mi pare che tu sia sulla strada giusta

[Anacleto13]

Si infatti non avevo calcolato la media e la varianza ma avevo lasciato quei valori.. ora mi risulta..
avevo confuso $B(mu,sigma^2)$

Grazie per il tuo tempo!

[Lo_zio_Tom]

Ops... avevo letto nella traccia $X=$ pezzi non difettosi prodotti da M1. Invece vedo che è "pezzi difettosi " quindi il ragionamento rimane valido ed il risultato è ovviamente identico ma devi cambiare il parametro $p$ delle due binomiali

$rho=(2+1,8-3*1)/sqrt(2,4*0,8)=0,5774$

[Anacleto13]

quindi

$ X~B(10;0.2) $
$ Y~B(5;0.2) $

giusto?