Chiarimento esercizio sulle martingale !

[Sk_Anonymous]

Salve a tutti ! Non riesco a capire un'uguaglianza del seguente esercizio !
Sia $ X $ una v.a avente media finita e sia ${F_n}_n $ una filtrazione,mostrare che $ X_n=E[X |F_n ] $ è una martingala !
Dunque devo far vedere che $ E[X_(n+1)|F_n]=X_n $ proprio per definizione di martingala!
La soluzione dice : sfruttando il fatto che $ F_n \subset F_(n+1) $ (essendo una filtrazione) e che per le proprietà di media condizionale si ha che
$ E[X|F_n]=E[E[X | F_n ] | F_(n+1) ]=E[E[X | F_(n+1) ] | F_n ] $ allora
$ E[X_(n+1) | F_n]= E[E[X|F_(n+1)] | F_n]= E[X|F_n]=X_n $

Non capisco la seconda uguaglianza ! Ma $ X_(n+1) $ l'ha scritto come $E[X|F_(n+1)] $ perchè per hp si ha che $X_n=E[X|F_n]$ ??
Grazie a chiunque mi risponderà !

[girdav]

La seconda uguaglianza viene dal fatto che se si prende due sigma-algebre $A$ et $B$ con $A\subset B$ allora $E[E[X| A]| B]=E[E[X| B]| A]$. Lo si puo' verificare così : prendiamo $E\in A$. Si deve verificare che $\int_E E[E[X| A]| B]dP = \int_E E[X| B]dP$, ma questo è vero perché $E\in B$ e questi due termini sono uguali a $\int_E X dP$

[Sk_Anonymous]

Scusa ma io non ho chiesto questo che dici tu !!! Questo che dici tu io l'ho capito....io chiedo un'altra cosa !!!!

[girdav]

Invece io non capisco quello che tu non capisci. Nel calcolo $E[X_{n+1}|F_n]=E[E[X|F_{n+1}]|F_n]=E[X|F_n]=X_n$, la prima tappa è la definizione di $X_n$, la seconda è l'use della prima linea della soluzione.

[Sk_Anonymous]

Va bene anche se utilizzo che $ E[X_n |F_(n-1) ]=X_(n-1)$ ????....e poi ci sostituisco $ X_n $ !!!! Il mio problema è che non riuscivo a capire perchè $ X_(n+1) =E[X| F_(n+1) ] $ !!!! Io invece per hp ho $X_n $!!!!!!
Grazieeeeeeeeeeeeeeeee