Chiarimenti su esercizi su funzioni di densità note
Avrei alcuni chiarimenti da chiedervi:
1)Se ad esempio mi ritrovo a dover utilizzare le funzioni di ripartizione di funzioni di densità note come, ad esempio, la binomiale o Poisson ho a che fare con la sommatoria di una funzione da un valore 'a' ad un valore 'b'. A volte l'intervallo (a,b) è breve e i calcoli sono veloci ma altre volte invece mi ritrovo a dover far passare molti più numeri. Mi chiedevo se ci fossero delle proprietà generali delle sommatorie che mi aiutassero a velocizzare il calcolo, o se magari ce ne sono di particolari che valgono solo per alcuni tipi di sommatorie (e quindi per alcuni tipi di funzione). Se sì, potete elencarmele oppure linkate una pagina.
2)Quando ho da gestire una distribuzione normale di deviazione sigma e media mu, ricorro alla tabella di tutti i valori della funzione standardizzata per calcolare le varie probabilità. Ad esempio, se devo calcolare P[a
3)Questo invece è proprio un esercizio su cui vi chiedo una dritta. Ho una variabile casuale distribuita normalmente con media mu e scarto quadratico medio sigma. Mi chiede di trovare l'intervallo entro il quale si concentra il 97% dei valori.
Cioè P[a
UPDATE: 4) Vorrei ricavare la funzione di ripartizione della funzione continua di densità esponenziale. Per farlo pensavo bastassi calcolare l'integrale da 0 a x di f(t) ma così facendo mi rimane una lambda che moltiplica quella che è la vera funzione di ripartizione.
Grazie mille per tutto anticipatamente.
1)Se ad esempio mi ritrovo a dover utilizzare le funzioni di ripartizione di funzioni di densità note come, ad esempio, la binomiale o Poisson ho a che fare con la sommatoria di una funzione da un valore 'a' ad un valore 'b'. A volte l'intervallo (a,b) è breve e i calcoli sono veloci ma altre volte invece mi ritrovo a dover far passare molti più numeri. Mi chiedevo se ci fossero delle proprietà generali delle sommatorie che mi aiutassero a velocizzare il calcolo, o se magari ce ne sono di particolari che valgono solo per alcuni tipi di sommatorie (e quindi per alcuni tipi di funzione). Se sì, potete elencarmele oppure linkate una pagina.
2)Quando ho da gestire una distribuzione normale di deviazione sigma e media mu, ricorro alla tabella di tutti i valori della funzione standardizzata per calcolare le varie probabilità. Ad esempio, se devo calcolare P[a
3)Questo invece è proprio un esercizio su cui vi chiedo una dritta. Ho una variabile casuale distribuita normalmente con media mu e scarto quadratico medio sigma. Mi chiede di trovare l'intervallo entro il quale si concentra il 97% dei valori.
Cioè P[a
UPDATE: 4) Vorrei ricavare la funzione di ripartizione della funzione continua di densità esponenziale. Per farlo pensavo bastassi calcolare l'integrale da 0 a x di f(t) ma così facendo mi rimane una lambda che moltiplica quella che è la vera funzione di ripartizione.
Grazie mille per tutto anticipatamente.
Risposte
up
Ciao...
Beh per la prima domanda non ci sono relazioni particolari. Devi destreggiarti con lo sviluppo di serie...
2) Per utilizzare le tabelle devi ricondurre la tua variabile Normale (a media e varianza qualsiasi) a una standard
(media nulla e varianza unitaria). Per far questo esegui la seguente trasformazione:
da $P[a P[(a-mu)/sigma
$P[(a-mu)/sigma
3)Operando la trasformazione come nel caso precedente (in modo da utilizzare le tabelle), si ottiene:
$Phi(B)-Phi(A)=0.97 => Phi(B)=0.97+Phi(A)$.
Tenendo presente che (in questo caso) $0.97<= Phi(B) <=1$ si avrà che $-oo
Beh per la prima domanda non ci sono relazioni particolari. Devi destreggiarti con lo sviluppo di serie...
2) Per utilizzare le tabelle devi ricondurre la tua variabile Normale (a media e varianza qualsiasi) a una standard
(media nulla e varianza unitaria). Per far questo esegui la seguente trasformazione:
da $P[a
$P[(a-mu)/sigma
3)Operando la trasformazione come nel caso precedente (in modo da utilizzare le tabelle), si ottiene:
$Phi(B)-Phi(A)=0.97 => Phi(B)=0.97+Phi(A)$.
Tenendo presente che (in questo caso) $0.97<= Phi(B) <=1$ si avrà che $-oo
Grazie per la spiegazione sulla normale standard che comunque facevo già correttamente. Quindi presumo che i risultati dati dal mio libro siano dati usando magari una tabella più/meno approssimata di quella che sto usando io.
Vorrei ritornare sull'esercizio 3.
Allora, come ti ho detto ho una funzione normale con media 2.5 e scarto quadratico medio 0.12.
Devo trovare i due estremi entro cui si concentrano il 97% dei valori.
Seguendo il tuo ragionamento ho che
$0.97<=N[z_a]<=1$ e $-oo<=N[z_b]<=0.03$
Guardando la tabella posso asserire che:
per $z_a>=1.89 -> 0.97<=N[z_a]<=1$
e per $z_b<=-1.99 ->-oo<=N[z_b]<=0.03$
Ma adesso? Posso sì ricavare gli estremi $x_a$ e $x_b$ da $z_a$ e $z_b$ utilizzando i valori estremi di z trovati, la media e lo scarto...ma non trovo i valori precisi, solo intervalli.
Vorrei ritornare sull'esercizio 3.
Allora, come ti ho detto ho una funzione normale con media 2.5 e scarto quadratico medio 0.12.
Devo trovare i due estremi entro cui si concentrano il 97% dei valori.
Seguendo il tuo ragionamento ho che
$0.97<=N[z_a]<=1$ e $-oo<=N[z_b]<=0.03$
Guardando la tabella posso asserire che:
per $z_a>=1.89 -> 0.97<=N[z_a]<=1$
e per $z_b<=-1.99 ->-oo<=N[z_b]<=0.03$
Ma adesso? Posso sì ricavare gli estremi $x_a$ e $x_b$ da $z_a$ e $z_b$ utilizzando i valori estremi di z trovati, la media e lo scarto...ma non trovo i valori precisi, solo intervalli.
Dunque:
di intervalli entro i quali si concentra il $97%$ della probabilità ne esitono infiniti (per come è posto il problema).
Ad esempio:
per $Phi(B)=1 => x_b=+oo$ si avrà $Phi(A)=0.03 => x_a=2.50144$ quindi un intervallo possibile è $[2.50144,+oo]$.
Si ragione nel modo analogo per tutti gli altri valori.
Così può andare?
di intervalli entro i quali si concentra il $97%$ della probabilità ne esitono infiniti (per come è posto il problema).
Ad esempio:
per $Phi(B)=1 => x_b=+oo$ si avrà $Phi(A)=0.03 => x_a=2.50144$ quindi un intervallo possibile è $[2.50144,+oo]$.
Si ragione nel modo analogo per tutti gli altri valori.
Così può andare?
guarda...anche io pensavo ce ne fossero infiniti e in effetti..
ti riporto il testo tale e quale dell'esercizio:
Il peso di scatole di detersivo confezionate automaticamente si distribuisce normalmente. Sapendo che il peso medio è 2.5 Kg con uno scarto quadratico medio di 0.12 Kg, determinare l'intervallo di peso entro il quale si concentra il 97% delle scatole confezionate.
E come unico risultato mi riporta l'intervallo (2.2396,2.7604)
ti riporto il testo tale e quale dell'esercizio:
Il peso di scatole di detersivo confezionate automaticamente si distribuisce normalmente. Sapendo che il peso medio è 2.5 Kg con uno scarto quadratico medio di 0.12 Kg, determinare l'intervallo di peso entro il quale si concentra il 97% delle scatole confezionate.
E come unico risultato mi riporta l'intervallo (2.2396,2.7604)
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