Chiarimenti operazioni fra v.a
Salve, avrei due dubbi riguardo le operazioni fra variabili aleatorie
1) Se ho due variabili aleatorie congiuntamente distribuite $X,Y$ e $P(Y=0)\ne0$, si può definire la variabile rapporto $Z=X/Y$? Il mio libro pare che intendere che sia sempre possibile l'operazione di divisione; inoltre, la forma finale [nota]$f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|y|f_{X_{1}X_{2}}(zy,y)dy$[/nota] della densità di $Z$ mi dice che è lecito.
Dovrei avere, ad esempio, che il rapporto $X=Y=0$ è $Z=0$. E giusto? Se sì, avrei altri dubbi!
2) In un esercizio ho una bernoulliana $X$ di parametro $p$ e due poissoniane di parametri $\lambda$ indipendenti. Devo determinare la distribuzione di $Y=XZ+W$.
Inizierei a vedere chi è $XZ$: per l'ipotesi di indipendenza ho
\[
\mathbb{P}(X=0;Z=n)=(1-p)e^{-\lambda}\frac{\lambda^{n}}{n!} \qquad \mathbb{P}(X=1;=n)=pe^{-\lambda}\frac{\lambda^{n}}{n!}
\]
Negli altri casi dovrei avere probabilità nulle. Ora, se chiamo $V=XZ$, ho
\[
F_{Y}(y)=\mathbb{P}(V+W\le y)
\]
All'evento $\{V+W\le y\}$ dovrebbe corrispondere un semipiano ma... se non sono congiuntamente distribuite come procedo?
Grazie mille in anticipo
1) Se ho due variabili aleatorie congiuntamente distribuite $X,Y$ e $P(Y=0)\ne0$, si può definire la variabile rapporto $Z=X/Y$? Il mio libro pare che intendere che sia sempre possibile l'operazione di divisione; inoltre, la forma finale [nota]$f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|y|f_{X_{1}X_{2}}(zy,y)dy$[/nota] della densità di $Z$ mi dice che è lecito.
Dovrei avere, ad esempio, che il rapporto $X=Y=0$ è $Z=0$. E giusto? Se sì, avrei altri dubbi!
2) In un esercizio ho una bernoulliana $X$ di parametro $p$ e due poissoniane di parametri $\lambda$ indipendenti. Devo determinare la distribuzione di $Y=XZ+W$.
Inizierei a vedere chi è $XZ$: per l'ipotesi di indipendenza ho
\[
\mathbb{P}(X=0;Z=n)=(1-p)e^{-\lambda}\frac{\lambda^{n}}{n!} \qquad \mathbb{P}(X=1;=n)=pe^{-\lambda}\frac{\lambda^{n}}{n!}
\]
Negli altri casi dovrei avere probabilità nulle. Ora, se chiamo $V=XZ$, ho
\[
F_{Y}(y)=\mathbb{P}(V+W\le y)
\]
All'evento $\{V+W\le y\}$ dovrebbe corrispondere un semipiano ma... se non sono congiuntamente distribuite come procedo?
Grazie mille in anticipo
Risposte
Hai ragione dovevo aprire due topic.
1) In effetti, il mio libro tratta per semplicità solo il caso di variabili aleatorie assolutamente continue. Attendo anche io novità!
2) Non ci avevo pensato! Se ho capito bene, dovrei avere $\mathbb{P}(Y=n)=\mathbb{P}(Y=n|X=1)\mathbb{P}(X=1)+\mathbb{P}(Y=n|X=0)\mathbb{P}(X=0)=p\frac{2^{n}\lambda^{n}}{n!}e^{-2\lambda}+(1-p)\frac{\lambda^{n}}{n!}e^{-\lambda}=\frac{\lambda^{n}}{n!}e^{-\lambda}[p2^{n}e^{-\lambda}+1-p]$
Grazie!
1) In effetti, il mio libro tratta per semplicità solo il caso di variabili aleatorie assolutamente continue. Attendo anche io novità!
2) Non ci avevo pensato! Se ho capito bene, dovrei avere $\mathbb{P}(Y=n)=\mathbb{P}(Y=n|X=1)\mathbb{P}(X=1)+\mathbb{P}(Y=n|X=0)\mathbb{P}(X=0)=p\frac{2^{n}\lambda^{n}}{n!}e^{-2\lambda}+(1-p)\frac{\lambda^{n}}{n!}e^{-\lambda}=\frac{\lambda^{n}}{n!}e^{-\lambda}[p2^{n}e^{-\lambda}+1-p]$
Grazie!
@Cantor99: era molto meglio scritta senza l'ultimo raccoglimento perché si vedeva bene il tipo di distribuzione: una combinazione lineare delle due pmf di Poisson con pesi $p$ e $q$
qui trovi un esercizio molto simile già risolto
qui trovi un esercizio molto simile già risolto
Gentilissimi entrambi.
@tommik riguardo il rapporto di variabili aleatorie di trovi con quanto dice arnett?
@tommik riguardo il rapporto di variabili aleatorie di trovi con quanto dice arnett?
Al 101 %
Perfetto, mi avete tolto un grossisimo dubbio 
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