$\chi^2$ indipendenti
Ciao, amici! Il mio libro di statistica, nel presentare vari argomenti, enuncia il fatto che due variabili $\chi_n^2$ e $\chi_m^2$ sono indipendenti per utilizzare la variabile con distribuzione $F$ di Fisher \(\frac{\chi_n^2/n}{\chi_m^2/m}\), ma senza mai dimostrare l'indipendenza di tali variabili $\chi^2$, necessaria affinché questo rapporto abbia distribuzione $F_{n,m}$.
Un esempio semplice: nell'analisi della varianza ad una via, la somma dei quadrati entro campioni normali di numerosità identica e varianza $\sigma^2$ uguale, cioè la sum of squares within the samples \(SS_{\text{W}}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{i=1}^{m} (X_{ij}-X_{i\ast})^2\) (dove \(X_{i\ast}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_ij\) è la media campionaria dell'$i$-esimo campione) mi è chiaro che è tale che\[\frac{SS_{\text{W}}}{\sigma^2}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{i=1}^{m}\frac{ (X_{ij}-X_{i\ast})^2}{\sigma^2}\sim\chi_{m(n-1)}^2\]così come mi è chiaro che la somma dei quadrati tra i campioni \(SS_{\text{b}}=n\sum_{i=1}^{m}(X_{i\ast}-X_{\ast\ast})^2\), dove \(X_{\ast\ast}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}X_{i\ast}\), è tale che\[\frac{SS_{\text{b}}}{\sigma^2}=\sum_{i=1}^{m}\frac{(X_{i\ast}-X_{\ast\ast})^2}{\sigma^2/n}\sim\chi_{m-1}^2.\]
Non mi è però affatto chiaro -e ogni mia ricerca di una dimostrazione di ciò in Internet è stata vana- il perché $SS_{\text{b}$ e $SS_{\text{W}$ siano indipendenti*.Tale indipendenza garantisce per esempio che\[\frac{SS_{\text{b}}/(m-1)}{SS_{\text{W}}/(nm-m)}\sim F_{m-1,m(n-1)}.\]
Qualcuno ha qualche idea di come si dimostri che variabili $\chi^2$ come queste sono indipendenti?
$\infty$ grazie a tutti!!!
*credo che lo siano sempre, ma in particolare il mio testo tratta l'ipotesi in cui le speranze matematiche di ogni campione siano uguali: $\mu_1=...=\mu_m$, da sottoporre a test.
Un esempio semplice: nell'analisi della varianza ad una via, la somma dei quadrati entro campioni normali di numerosità identica e varianza $\sigma^2$ uguale, cioè la sum of squares within the samples \(SS_{\text{W}}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{i=1}^{m} (X_{ij}-X_{i\ast})^2\) (dove \(X_{i\ast}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_ij\) è la media campionaria dell'$i$-esimo campione) mi è chiaro che è tale che\[\frac{SS_{\text{W}}}{\sigma^2}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{i=1}^{m}\frac{ (X_{ij}-X_{i\ast})^2}{\sigma^2}\sim\chi_{m(n-1)}^2\]così come mi è chiaro che la somma dei quadrati tra i campioni \(SS_{\text{b}}=n\sum_{i=1}^{m}(X_{i\ast}-X_{\ast\ast})^2\), dove \(X_{\ast\ast}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}X_{i\ast}\), è tale che\[\frac{SS_{\text{b}}}{\sigma^2}=\sum_{i=1}^{m}\frac{(X_{i\ast}-X_{\ast\ast})^2}{\sigma^2/n}\sim\chi_{m-1}^2.\]
Non mi è però affatto chiaro -e ogni mia ricerca di una dimostrazione di ciò in Internet è stata vana- il perché $SS_{\text{b}$ e $SS_{\text{W}$ siano indipendenti*.Tale indipendenza garantisce per esempio che\[\frac{SS_{\text{b}}/(m-1)}{SS_{\text{W}}/(nm-m)}\sim F_{m-1,m(n-1)}.\]
Qualcuno ha qualche idea di come si dimostri che variabili $\chi^2$ come queste sono indipendenti?
$\infty$ grazie a tutti!!!
*credo che lo siano sempre, ma in particolare il mio testo tratta l'ipotesi in cui le speranze matematiche di ogni campione siano uguali: $\mu_1=...=\mu_m$, da sottoporre a test.
Risposte
È quello che cercavo!!! Molto interessante il teorema di Cochran... $\infty$ grazie!
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