Chi quadrato

[Bluff1]

Ciao, posto un problema che mi sta mettendo in difficoltà:

Se io ho due variabili aleatorie Z,T indipendenti e identicamente distribuite che seguono la legge normale $N(0,\sigma^2)$ e devo calcolare la probabilità che $Z^2+Y^2>=6$ posso considerare l'area della sfera e fare 1- Area?
Non essendo sicuro di questa via ho cercato di fare anche un altro ragionamento che sarebbe quello di considerare $Z^2$ e $T^2$ dove essendo $Z$ e $T$ v.a.i. e identicamente distribuite, se le prendo al quadrato seguiranno la legge $\chi2$ giusto? Quindi la loro somma seguire ancora la legge $\chi2$ ma come faccio a sapere quando la probabilità è maggiore di 6? Soprattutto sapendo che la f.d.p. della legge $\chi2$ è per la $X=Z^2$
$(1/sqrt(2\pi\sigma^2))e^(-x/8)x^-1/2$ se la sommo alla $chi2$ della $Y=T^2$ che forma avrebbe la mia $\chi2$ della somma?

[niandra82]

una normale standardizzata al quadrato è un chi quadro...la somma di chi quadri è ancora chi quadri ma con gradi di libertà dati dalla normali al quadrato che si sommano, in questo caso due, ....standardizza , fanne il quadrato...somma e vedi le tabelle del chi quadro

[retrocomputer]

"Bluff":
Se io ho due variabili aleatorie Z,T indipendenti e identicamente distribuite che seguono la legge normale $N(0,\sigma^2)$ e devo calcolare la probabilità che $Z^2+Y^2>=6$ posso considerare l'area della sfera e fare 1- Area?

Se non sbaglio, seguendo questa via si dovrebbe calcolare un integrale doppio del tipo
$\int\int_A f_Z(z)f_Y(y)dzdy$, dove $A$ è l'area del cerchio. Ma non mi sembra una strada tanto agevole...

Non essendo sicuro di questa via ho cercato di fare anche un altro ragionamento che sarebbe quello di considerare $Z^2$ e $T^2$ dove essendo $Z$ e $T$ v.a.i. e identicamente distribuite, se le prendo al quadrato seguiranno la legge $\chi2$ giusto?

Sì, cioè, insomma... Da quel poco che so sull'argomento, non esiste una sola legge $\chi^2$, ma ce ne sono diverse, a seconda dei gradi di libertà $n$:
- se $X$ ha legge $N(0,1)$, allora $X^2$ ha legge $\chi^2(1)$;
- se $X_1$ e $X_2$ hanno legge $N(0,1)$, allora $X_1^2+X_2^2$ ha legge $\chi^2(2)$.

Ora improvviso: se $Z=\sigma X_1$ e $Y=\sigma X_2$ hanno legge $N(0,\sigma^2)$, allora $Z^2+Y^2$ ha legge... Boh!
Ma forse possiamo calcolare quello che chiede l'esercizio, e cioè

$P(Z^2+Y^2\geq 6)=P(\sigma^2 X_1^2 +\sigma^2 X_2^2\geq 6)=P(\sigma^2 (X_1^2 + X_2^2)\geq 6)=P(X_1^2 + X_2^2\geq 6/\sigma^2)=...$

Può andare?

[Bluff1]

Non ho capito chi o cosa mi assicura di poter fare questo passaggio:
$Z=\sigma X_1$ e $Y=\sigma X_2$ hanno legge $N(0,\sigma^2)$.
Come faccio io a poterlo dire?
Per il resto il tuo procedimento devo dire che è molto sbrigativo.

[retrocomputer]

"Bluff":Non ho capito chi o cosa mi assicura di poter fare questo passaggio:
$Z=\sigma X_1$ e $Y=\sigma X_2$ hanno legge $N(0,\sigma^2)$.
Come faccio io a poterlo dire?

Si sfrutta il fatto che se una variabile aleatoria $X$ ha legge $N(0,1)$, allora $Y=\sigma X+m$ ha legge $N(m,\sigma^2)$: ti risulta?

Per il resto il tuo procedimento devo dire che è molto sbrigativo.

Hai provato a completarlo? Cosa ti viene?

[Bluff1]

"retrocomputer":
Si sfrutta il fatto che se una variabile aleatoria $X$ ha legge $N(0,1)$, allora $Y=\sigma X+m$ ha legge $N(m,\sigma^2)$: ti risulta?

Ok vado a rivedermi questa

"retrocomputer":Hai provato a completarlo? Cosa ti viene?

Il testo mi dava anche il valore di $\sigma^2=3$, mi ero dimenticato di scriverlo. Ora devo solo capire come leggere la tabella di Chi quadrato visto che non l'ho mai usata con dimestichezza.

[retrocomputer]

"Bluff":
Il testo mi dava anche il valore di $\sigma^2=3$, mi ero dimenticato di scriverlo. Ora devo solo capire come leggere la tabella di Chi quadrato visto che non l'ho mai usata con dimestichezza.

Ti dirò, magari ho sbagliato a fare i conti, ma mi pare che per n=2 l'integrale si calcoli piuttosto bene... La legge $\chi^2(2)$ non è altro che la legge Gamma $\Gamma(1,1/2)$, cioè la legge esponenziale di parametro $1/2$, giusto?
Prova anche tu e fammi sapere.

[Bluff1]

"retrocomputer":La legge $\chi^2(2)$ non è altro che la legge Gamma $\Gamma(1,1/2)$, cioè la legge esponenziale di parametro $1/2$, giusto?

Esatto quello che dici, alla fine il calcolo sapendo che è la legge esponenziale viene veramente facile. Grazie per gli ottimi suggerimenti.