Che significato ha la formula dei momenti di una distribuzione?
La sua formula di ordine k intorno ad un certo valore (n_0 o x_0 in base a se la variabile è discreta o continua) ha un significato generale oppure è stata definita perchè dati determinati k e n_0/x_0 con cui calcolarla si ottenevano buone definizioni di estimatori (valore atteso,varianza etc..)?
Non so se mi sono espresso bene
ps : altrimenti ,se possibile,ditemi che interpretazione posso dargli!
Non so se mi sono espresso bene
ps : altrimenti ,se possibile,ditemi che interpretazione posso dargli!
Risposte
Non so se hai già affrontato l'argomento in altri corsi, ma ci sono delle analogie con la trasformata di Laplace
$s/sqrt(n)$
Ciao, io avevo fatto una domanda simile in un altro post (in cui purtroppo nessuno ha risposto), ho continuato a pensarci e alla fine l'ho vista in questo modo.
La formula è:
\[
\mu_n = \int_{-\infty}^{+\infty} (x- \langle x \rangle )^n pdf(x) dx
\]
in cui $ pdf(x) $ è la funzione densità di probabilità, $ \mu_n$ il momento di grado $n$ e $\langle x \rangle$ il valore atteso della variabile $x$ (anche detta media).
Se poni $n=1$, il risultato del momento è zero, ma se il valore atteso della variabile fosse zero, avresti lo stesso risultato; quindi per semplicità puoi immaginarti di prendere una variabile che abbia media nulla elevarla a qualsiasi potenza e vedere che succede, il comportamento sarà lo stesso del momento; è come se traslassi tutto per fare in modo che il valore atteso capiti sull'intersezione degli assi.
Detto questo, immaginati, sempre per semplicità, una distribuzione Gaussiana per la $pdf(x)$ (anche detta a "campana").
Se ora moltiplichi la $pdf(x)$ per $x$ avrai $x pdf(x)$ che è una funzione dispari, quindi se fai l'integrale della funzione avrai zero, che infatti è la media. Se poi moltiplichi la $pdf(x)$ per $x^2$ avrai una funzione pari, il cui integrale è sempre maggiore o uguale a zero; in questo caso l'integrale ti dirà la varianza. Il motivo te lo puoi spiegare disegnando su uno stesso grafico una parabola con vertice nell'origine e la $pdf(x)$ a "campana" che abbiamo preso, se poi tieni conto che i punti delle due curve vanno moltiplicati, noterai come i valori dei punti della parabola amplifichino i valori della $pdf(x)$ che si allontanano sempre di più dallo zero. Dunque la funzione risultante dalla moltiplicazione delle due, $x^2 pdf(x)$, tiene conto di quello che accade intorno al valore medio ed è sempre positiva. Facendo l'integrale tu misuri l'area che sta sotto questa curva; puoi cercare di immaginare che se la $pdf(x)$ si "dimagrisce" a formare una "campana" più snella, moltiplicandola per $x^2$ formi una curva con meno area. Se sono riuscito a farti immaginare questa cosa, allora ti sarà chiaro anche il motivo per cui il momento di ordine 2 indichi la varianza.
Passiamo a $n=3$. Moltiplicando la $pdf(x)$ per una funzione dispari, $x^3$ otterrai una funzione dispari; questa però è differente dal caso $n=1$ e quindi il suo integrale potrebbe essere diverso da zero. Nel caso di una funzione a "campana" (Gaussiana) l'integrale è SEMPRE uguale a zero e questo perché la campana è simmetrica rispetto la $x$ che indica il valore atteso, ovvero la probabilità che una delle $x$ capiti è distribuita equamente a destra e sinistra del valore atteso. In generale può capitare che il momento di ordine $3$ non sia zero e questo implica che la probabilità che una delle x capiti non è uniformemente distribuita tra destra e sinistra del valore atteso e cioè che è più probabile che capiti una x tra quelle a destra (se l'integrale è positivo) o tra quelle a sinistra (se l'integrale è negativo).
Nel caso $n=4$ il ragionamento è lo stesso che per $n=2$, la differenza è che la parabola ha una pendenza diversa; infatti tra 0 e 1 è un po' più piatta di $x^2$ e da 1 in poi è un po' più ripida; quindi vengono amplificati i termini che sono ancora più lontani dall'origine e quindi l'integrale della curva $x^4 pdf(x)$ è preso come un indice per vedere la "ciocciottagine" della curva distribuzione; più la $pdf(x)$ è cicciotta e più l'amplificazione prende termini distanti da zero (prova a disegnare).
Per le $n$ successive il ragionamento è sempre lo stesso, vendono moltiplicate per $x^n$, con $n$ sempre maggiori e se ci pensi un attimo all'aumentare della $n$ il tratto della curva $x^n$ tra 0 e 1 ha una pendenza sempre minore, mentre quello da 1 in poi sempre maggiore, quindi c'è un'amplificazione dei termini sempre più distanti dal valore atteso; si potrebbe dire che con i momenti di ordine molto alto si cerca di studiare il comportamento delle x molto lontane dal valore atteso, quindi quelle meno probabili.
Spero che questa cosa che ho scritto un po' così, in fretta e furia, ti abbia aiutato.
Ciao!
La formula è:
\[
\mu_n = \int_{-\infty}^{+\infty} (x- \langle x \rangle )^n pdf(x) dx
\]
in cui $ pdf(x) $ è la funzione densità di probabilità, $ \mu_n$ il momento di grado $n$ e $\langle x \rangle$ il valore atteso della variabile $x$ (anche detta media).
Se poni $n=1$, il risultato del momento è zero, ma se il valore atteso della variabile fosse zero, avresti lo stesso risultato; quindi per semplicità puoi immaginarti di prendere una variabile che abbia media nulla elevarla a qualsiasi potenza e vedere che succede, il comportamento sarà lo stesso del momento; è come se traslassi tutto per fare in modo che il valore atteso capiti sull'intersezione degli assi.
Detto questo, immaginati, sempre per semplicità, una distribuzione Gaussiana per la $pdf(x)$ (anche detta a "campana").
Se ora moltiplichi la $pdf(x)$ per $x$ avrai $x pdf(x)$ che è una funzione dispari, quindi se fai l'integrale della funzione avrai zero, che infatti è la media. Se poi moltiplichi la $pdf(x)$ per $x^2$ avrai una funzione pari, il cui integrale è sempre maggiore o uguale a zero; in questo caso l'integrale ti dirà la varianza. Il motivo te lo puoi spiegare disegnando su uno stesso grafico una parabola con vertice nell'origine e la $pdf(x)$ a "campana" che abbiamo preso, se poi tieni conto che i punti delle due curve vanno moltiplicati, noterai come i valori dei punti della parabola amplifichino i valori della $pdf(x)$ che si allontanano sempre di più dallo zero. Dunque la funzione risultante dalla moltiplicazione delle due, $x^2 pdf(x)$, tiene conto di quello che accade intorno al valore medio ed è sempre positiva. Facendo l'integrale tu misuri l'area che sta sotto questa curva; puoi cercare di immaginare che se la $pdf(x)$ si "dimagrisce" a formare una "campana" più snella, moltiplicandola per $x^2$ formi una curva con meno area. Se sono riuscito a farti immaginare questa cosa, allora ti sarà chiaro anche il motivo per cui il momento di ordine 2 indichi la varianza.
Passiamo a $n=3$. Moltiplicando la $pdf(x)$ per una funzione dispari, $x^3$ otterrai una funzione dispari; questa però è differente dal caso $n=1$ e quindi il suo integrale potrebbe essere diverso da zero. Nel caso di una funzione a "campana" (Gaussiana) l'integrale è SEMPRE uguale a zero e questo perché la campana è simmetrica rispetto la $x$ che indica il valore atteso, ovvero la probabilità che una delle $x$ capiti è distribuita equamente a destra e sinistra del valore atteso. In generale può capitare che il momento di ordine $3$ non sia zero e questo implica che la probabilità che una delle x capiti non è uniformemente distribuita tra destra e sinistra del valore atteso e cioè che è più probabile che capiti una x tra quelle a destra (se l'integrale è positivo) o tra quelle a sinistra (se l'integrale è negativo).
Nel caso $n=4$ il ragionamento è lo stesso che per $n=2$, la differenza è che la parabola ha una pendenza diversa; infatti tra 0 e 1 è un po' più piatta di $x^2$ e da 1 in poi è un po' più ripida; quindi vengono amplificati i termini che sono ancora più lontani dall'origine e quindi l'integrale della curva $x^4 pdf(x)$ è preso come un indice per vedere la "ciocciottagine" della curva distribuzione; più la $pdf(x)$ è cicciotta e più l'amplificazione prende termini distanti da zero (prova a disegnare).
Per le $n$ successive il ragionamento è sempre lo stesso, vendono moltiplicate per $x^n$, con $n$ sempre maggiori e se ci pensi un attimo all'aumentare della $n$ il tratto della curva $x^n$ tra 0 e 1 ha una pendenza sempre minore, mentre quello da 1 in poi sempre maggiore, quindi c'è un'amplificazione dei termini sempre più distanti dal valore atteso; si potrebbe dire che con i momenti di ordine molto alto si cerca di studiare il comportamento delle x molto lontane dal valore atteso, quindi quelle meno probabili.
Spero che questa cosa che ho scritto un po' così, in fretta e furia, ti abbia aiutato.
Ciao!
Ti ringrazio infinitamente della risposta.L'ho vista adesso e la leggerò con calma a casa XD
Il mio post precedente (s/sqrt(n)) è una stupidata che non centra niente con il discorso (è partita per sbaglio XD).Ti faccio sapere cosa ne penso anche perchè c'ho riflettuto molto anch'io e sono arrivato a determinate conclusioni che mi sembrano sensate ! Ciao e grazie ancora
Il mio post precedente (s/sqrt(n)) è una stupidata che non centra niente con il discorso (è partita per sbaglio XD).Ti faccio sapere cosa ne penso anche perchè c'ho riflettuto molto anch'io e sono arrivato a determinate conclusioni che mi sembrano sensate ! Ciao e grazie ancora
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