Catene di Markov a tempo discreto
Ciao,devo risolvere questo esercizio ma non so come formalizzare la matrice di transizione. Vi ringrazio in anticipo.
Nel tennis il vincitore di un game è il primo giocatore a vincere quattro punti, a meno che il punteggio sia 4-3 , nel qual caso il gioco deve continuare finché un giocatore non abbia un distacco di due punti.
Supponiamo che il gioco abbia raggiunto il punto in cui il giocatore che deve servire sia il giocatore A e che stia cercando di ottenere due punti di vantaggio per vincere. Il giocatore A vincerà un punto con probabilità 0.6.
Non riesco a capire come può essere formulato come una Catena di Markov. Probabilmente è utile usare Xn="differenza dei punteggi dei due giocatori" come variabile aleatoria, però i valori che può assumere sono un'infinità numerabile.
Ho ottenuto una matrice tridiagonale come quella di un cammino casuale, ma non mi sembra che funzioni correttamente.
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Nel tennis il vincitore di un game è il primo giocatore a vincere quattro punti, a meno che il punteggio sia 4-3 , nel qual caso il gioco deve continuare finché un giocatore non abbia un distacco di due punti.
Supponiamo che il gioco abbia raggiunto il punto in cui il giocatore che deve servire sia il giocatore A e che stia cercando di ottenere due punti di vantaggio per vincere. Il giocatore A vincerà un punto con probabilità 0.6.
Non riesco a capire come può essere formulato come una Catena di Markov. Probabilmente è utile usare Xn="differenza dei punteggi dei due giocatori" come variabile aleatoria, però i valori che può assumere sono un'infinità numerabile.
Ho ottenuto una matrice tridiagonale come quella di un cammino casuale, ma non mi sembra che funzioni correttamente.
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Se usi la differenza, perché avresti un' infinità? Se finisci in 4-3 o 3-4 la differenza è 1, 0 o 2 (o se vuoi anche -1, -2).
Allora diciamo che siamo arrivati uni uno dei 2 casi 4-3 o 3-4. Di qui la catena ha solo 5 stati possibili
Vantaggio di 1 di A (cioè 4-3)
vantaggio di 1 di B (3-4)
pareggio 0
Vantaggio di 2 di A
Vantaggio di 2 di B
Quindi adesso:
(1) da 4-3 o 3-4 o vai in $0$
(2) o vai in vantaggio di 2 ed è l'ultimo stato da cui non torni indietro.
(3) se da 4-3 (o 3-4) sei finito in $0$, da qui o torni in 4-3 o in (3-4) tornando al punto (1)
Il processo forse ti sembra infinito, ma il numero di stati possibili (e quindi le possibili transizioni) è finito. E nemmeno il processo è infinito perché la prob che A fa un punto è >1/2, quindi il sistema è stabile e prima o poi il match sei assicurato che finisca
Allora diciamo che siamo arrivati uni uno dei 2 casi 4-3 o 3-4. Di qui la catena ha solo 5 stati possibili
Vantaggio di 1 di A (cioè 4-3)
vantaggio di 1 di B (3-4)
pareggio 0
Vantaggio di 2 di A
Vantaggio di 2 di B
Quindi adesso:
(1) da 4-3 o 3-4 o vai in $0$
(2) o vai in vantaggio di 2 ed è l'ultimo stato da cui non torni indietro.
(3) se da 4-3 (o 3-4) sei finito in $0$, da qui o torni in 4-3 o in (3-4) tornando al punto (1)
Il processo forse ti sembra infinito, ma il numero di stati possibili (e quindi le possibili transizioni) è finito. E nemmeno il processo è infinito perché la prob che A fa un punto è >1/2, quindi il sistema è stabile e prima o poi il match sei assicurato che finisca
Grazie mille, adesso ho capito. Non consideravo che la catena inizia quando uno dei due vede conquistare il vantaggio.
"marty.nani":
Grazie mille, adesso ho capito. Non consideravo che la catena inizia quando uno dei due vede conquistare il vantaggio.
In realta' la catena inizia prima, gli stati 00, 01, 10, 23, 32, ecc ecc vanno comunque considerati. Ma questi casi bene o male non comportano difficolta' solo che se da questa parte iniziale della catena finisci poi in 4-3 o 3-4 le cose sono come descritte
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