Carte e Binomiale
Ciao ragazzi, mi scuso per il fastidio che queste continue richieste possano arrecare alla sezione. In tal caso, sentitevi liberi di non rispondere. E' da un giorno circa che cerco di approfondire lo studio di distribuzioni binomiali e geometriche e credo di aver sciolto ogni dubbio dal punto di vista concettuale, riuscendo a risolvere anche qualche esercizio tramite l'uso di queste due variabili. Tuttavia, avrei qualche dubbio legato alla risoluzione di alcuni esercizi sicuramente banali, ma che mi hanno portato a soluzioni errate.
Un esempio è il seguente, trovato in rete. "Da un mazzo di $40$ carte si eseguono $3$ estrazioni con reimmissione.
Calcolare:
a) la probabilità di estrarre almeno due figure;
b) la probabilità di estrarre almeno un asso;
c) la probabilità di estrarre un asso e due figure."
Risoluzione
a) La probabilità di estrarre almeno due figure equivale alla probabilità di estrarre un numero $k>=2$ di figure. Ho calcolato la probabilità di avere due figure in tre estrazioni e la probabilità di avere tre figure in tre estrazioni, e poi ho sommato queste due probabilità (ho immaginato che i due eventi siano mutualmente esclusivi, quindi secondo un assioma della teoria della probabilità se i due eventi sono esclusivi la probabilità dell'evento unione è data dalla somma delle due probabilità).
b) La probabilità di estrarre almeno un asso l'ho calcolata trovando la probabilità di non estrarre neanche un asso in tre estrazioni, e poi ho fatto il complementare del suddetto evento trovando quanto richiesto.
c) In questo punto mi è sorto un dubbio. Quando mi si chiede di trovare un certo numero di una certa carta con un numero $n$ di estrazioni, devo considerare di avere successo estraendo a primo colpo la carta giusta? mi spiego meglio. La probabilità di estrarre un asso devo calcolarla sempre in $3$ estrazioni oppure considerando una estrazione soltanto? Analogamente, la probabilità di estrarre due figure devo calcolarla considerando due figure in tre estrazioni, o considerando le estrazioni come indipendenti e quindi calcolare la probabilità di avere una figura a primo colpo? In quest'ultimo caso, la probabilità di avere una figura sarebbe pari a $3/10$.Quindi, per le due figure, $2 * 3/10$. Le probabilità di estrazione di un asso e di estrazione delle due figure andrebbero poi moltiplicate essendo le prove,per definizione stessa di binomiale, indipendenti. Quindi, in base alla definizione di eventi statisticamente indipendenti, $P(A \cap F) = P(A)*P(F)$ dove $A$ e $F$ sono rispettivamente gli eventi $A = "estrazione di un asso"$ e $F = "estrazione di due figure"$.
C'è sicuramente qualcosa che non va, ho riscontrato analoghi problemi anche in un esercizio simile.
Mi scuso ancora per la mole di messaggi e giuro che dopo questa mi darò una calmata
Un esempio è il seguente, trovato in rete. "Da un mazzo di $40$ carte si eseguono $3$ estrazioni con reimmissione.
Calcolare:
a) la probabilità di estrarre almeno due figure;
b) la probabilità di estrarre almeno un asso;
c) la probabilità di estrarre un asso e due figure."
Risoluzione
a) La probabilità di estrarre almeno due figure equivale alla probabilità di estrarre un numero $k>=2$ di figure. Ho calcolato la probabilità di avere due figure in tre estrazioni e la probabilità di avere tre figure in tre estrazioni, e poi ho sommato queste due probabilità (ho immaginato che i due eventi siano mutualmente esclusivi, quindi secondo un assioma della teoria della probabilità se i due eventi sono esclusivi la probabilità dell'evento unione è data dalla somma delle due probabilità).
b) La probabilità di estrarre almeno un asso l'ho calcolata trovando la probabilità di non estrarre neanche un asso in tre estrazioni, e poi ho fatto il complementare del suddetto evento trovando quanto richiesto.
c) In questo punto mi è sorto un dubbio. Quando mi si chiede di trovare un certo numero di una certa carta con un numero $n$ di estrazioni, devo considerare di avere successo estraendo a primo colpo la carta giusta? mi spiego meglio. La probabilità di estrarre un asso devo calcolarla sempre in $3$ estrazioni oppure considerando una estrazione soltanto? Analogamente, la probabilità di estrarre due figure devo calcolarla considerando due figure in tre estrazioni, o considerando le estrazioni come indipendenti e quindi calcolare la probabilità di avere una figura a primo colpo? In quest'ultimo caso, la probabilità di avere una figura sarebbe pari a $3/10$.Quindi, per le due figure, $2 * 3/10$. Le probabilità di estrazione di un asso e di estrazione delle due figure andrebbero poi moltiplicate essendo le prove,per definizione stessa di binomiale, indipendenti. Quindi, in base alla definizione di eventi statisticamente indipendenti, $P(A \cap F) = P(A)*P(F)$ dove $A$ e $F$ sono rispettivamente gli eventi $A = "estrazione di un asso"$ e $F = "estrazione di due figure"$.
C'è sicuramente qualcosa che non va, ho riscontrato analoghi problemi anche in un esercizio simile.
Mi scuso ancora per la mole di messaggi e giuro che dopo questa mi darò una calmata
Risposte
nessun disturbo, il forum è fatto apposta per intavolare discussioni....se qualcuno ha voglia di rispondere lo farà altrimenti no....
Ciò premesso, nei casi a) e b) hai ragionato bene; il caso c) è un po' differente. Che esca un asso o una figura non sono esaustivi....abbiamo anche un terzo evento, ovvero esce un'altra carta. Non puoi usare la binomiale ma potresti usare la multinomiale. Vedi in proposito l'esempio sul link di wiki alla fine della pagina
...oppure non usi nessuna formula precotta ma ci ragioni e vedi che non è difficile.
In tre estrazioni può uscire AFF; FAF; FFA. Data l'estrazione con reimmissione i tre eventi sono equiprobabili, quindi calcoli la probabilità di uno e moltiplichi per tre.
$4/40*12/40*12/40*3$
Con la distribuzione multinomiale avresti trovato
$P(1,2,0)=(3!)/(1!2!0!)(4/40)^1(12/40)^2(24/40)^0=3*4/40*12/40*12/40$
che come vedi è esattamente la stessa cosa.
Ciò premesso, nei casi a) e b) hai ragionato bene; il caso c) è un po' differente. Che esca un asso o una figura non sono esaustivi....abbiamo anche un terzo evento, ovvero esce un'altra carta. Non puoi usare la binomiale ma potresti usare la multinomiale. Vedi in proposito l'esempio sul link di wiki alla fine della pagina
...oppure non usi nessuna formula precotta ma ci ragioni e vedi che non è difficile.
In tre estrazioni può uscire AFF; FAF; FFA. Data l'estrazione con reimmissione i tre eventi sono equiprobabili, quindi calcoli la probabilità di uno e moltiplichi per tre.
$4/40*12/40*12/40*3$
Con la distribuzione multinomiale avresti trovato
$P(1,2,0)=(3!)/(1!2!0!)(4/40)^1(12/40)^2(24/40)^0=3*4/40*12/40*12/40$
che come vedi è esattamente la stessa cosa.
"MrEngineer":
In quest'ultimo caso, la probabilità di avere una figura sarebbe pari a $3/10$.Quindi, per le due figure, $2 * 3/10$.
caspita non avevo letto con attenzione ciò che hai scritto.....qui però devi fare attenzione eh.....
come fai a dire "per due figure $2*3/10$".....quindi per 4 figure sarebbe $4*3/10>1$??
"tommik":
Ciò premesso, nei casi a) e b) hai ragionato bene; il caso c) è un po' differente.
Faccio un passo avanti e dieci indietro... credo di aver capito. Nei casi a) e b) gli eventi sono eventi "secchi", ovvero si richiede di estrarre una carta di un determinato tipo (asso o figura). Pertanto ci saranno solo due eventi: uno rappresenta il successo, ovvero l'estrazione di una figura/asso, l'altro il fallimento(estrazione di qualsiasi altra carta).
Il caso c) è diverso: si chiede l'estrazione di un asso e di due figure, quindi non posso usare la binomiale. Per quanto riguarda la multinomiale, non la conoscevo. Credo che ai fini della "mia" materia non venga mai utilizzata.
Mi scuso per la difficoltà nel comprendere concetti banali e ripetuti qua e là nei post, ma non ho mai affrontato problemi di probabilità e statistica fino a poco tempo fa per cui è un mondo a me nuovo (e per quanto interessante,devo dire, a me poco congeniale).
Grazie Tommik per i preziosi consigli. Un piccolo OT: conosci magari un eserciziario che raggruppi gli argomenti più salienti della probabilità (Bayes, Binomiale, Geometrica, Trasformazioni, Poisson...) adatto anche per l'ingegneria? Ho visto che per la teoria mi hai consigliato il Ross. Se avrò tempo provvederò a procurarmelo
"tommik":
caspita non avevo letto con attenzione ciò che hai scritto.....qui però devi fare attenzione eh.....
come fai a dire "per due figure $2*3/10$".....quindi per 4 figure sarebbe $4*3/10>1$??
Ho detto una bella castroneria da "ciutaglione" come direbbero a Napoli...
"tommik":
In tre estrazioni può uscire AFF; FAF; FFA. Data l'estrazione con reimmissione i tre eventi sono equiprobabili, quindi calcoli la probabilità di uno e moltiplichi per tre.
$4/40*12/40*12/40*3$
Quindi nei casi in cui si chiede di estrarre contemporaneamente più cose(era lo stesso caso già visto, per quanto ricordo, nel punto 2) dell'esercizio delle biglie e dei gettoni) basta costruire una misera tabellina considerando tutti i possibili casi della richiesta,tralasciando invece i casi che non riguardano l'evento. Nel caso delle carte, dunque:
| 1a estrazione | 2a estrazione | 3a estrazione |
|---|---|---|
| F | F | F |
| A | F | A |
(invece, nel caso del gettone, si chiedeva di totalizzare almeno 3 punti tenendo conto che un gettone dorato dava 2 punti e un gettone argentato 1 punto. Di conseguenza, in quel caso si poteva avere $AD$ oppure $DA$ e poi moltiplicare il tutto per $2$ potendo i due eventi accadere con la stessa probabilità).
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