Cambio di variabili quando non c'è una relazione 1 a 1
Espongo il mio problema:
Consideriamo un vettore di due componenti $\mathbf{x}=(x_1, x_2)$ distribuita come una normale bivariata con vettore di medie $\mu$ e matrice di covarianza $\Sigma$. Voglio trovare la densità della variabile aleatori $||\mathbf{x}|| \mathbf{x}$. La nuova variabile non è altro che le coordinate cartesiane di un punto sulla circonferenza di raggio unitario.
Io sono in grado di fare una trasformazione tra variabili aleatorie quando c'è una relazione 1 a 1, cose non vera in questo esempio, Come posso fare?
Per completezza: IN realtà io conosco il risultato, la variabile si distribuisce come una projected normal, solo che a me interessa capire come sono giunti al risultato.
http://www.sciencedirect.com/science/ar ... 2712000457
Consideriamo un vettore di due componenti $\mathbf{x}=(x_1, x_2)$ distribuita come una normale bivariata con vettore di medie $\mu$ e matrice di covarianza $\Sigma$. Voglio trovare la densità della variabile aleatori $||\mathbf{x}|| \mathbf{x}$. La nuova variabile non è altro che le coordinate cartesiane di un punto sulla circonferenza di raggio unitario.
Io sono in grado di fare una trasformazione tra variabili aleatorie quando c'è una relazione 1 a 1, cose non vera in questo esempio, Come posso fare?
Per completezza: IN realtà io conosco il risultato, la variabile si distribuisce come una projected normal, solo che a me interessa capire come sono giunti al risultato.
http://www.sciencedirect.com/science/ar ... 2712000457
Risposte
Un piccolo chiarimento: se stai proiettando sulla circonferenza unitaria la formula dovrebbe essere \(\mathbf{x}/||\mathbf{x}||\) e non quella da te scritta. Stai forse usando una notazione particolare oppure hai sbagliato a scrivere?
Per quanto riguarda il tuo problema invece, l'unico metodo che mi viene in mente per ora è quello di fare un cambio di coordinate polari e poi analizzare la distribuzione rispetto all'angolo.
Per quanto riguarda il tuo problema invece, l'unico metodo che mi viene in mente per ora è quello di fare un cambio di coordinate polari e poi analizzare la distribuzione rispetto all'angolo.
Hai ragione, in realtà volevo scrivere $||\mathbf{x}||^{-1}\mathbf{x}$.
Ci ho pensato, ma poi avrei la distribuzione dell'angolo e la distanza dal polo (0,0) al punto $(x_1,x_2)$. A quel punto dovrei marginalizzare per ottenere la distribuzione dell'angolo, e la cosa non mi sembra fattibile...
Ci ho pensato, ma poi avrei la distribuzione dell'angolo e la distanza dal polo (0,0) al punto $(x_1,x_2)$. A quel punto dovrei marginalizzare per ottenere la distribuzione dell'angolo, e la cosa non mi sembra fattibile...
Sempre tirando fuori idee un po' a caso. Si potrebbe anche scrivere come l'integrale della distribuzione bivariata lungo semirette centrate nell'origine (ma è tutt'altro che banale). L'articolo non fornisce indicazioni a riguardo?
La dimostrazione si dovrebbe trovare in un libro del 72, ormai introvabile (o almeno io non lo riesco a trovare)
"niandra82":
La dimostrazione si dovrebbe trovare in un libro del 72, ormai introvabile (o almeno io non lo riesco a trovare)
hai dato un'occhiata alla seconda edizione di Statistics of Directional Data del '99: Directional Statistics oppure c'è un altro paper accessibile da jstor con lo stesso titolo del 1975
forse trovi qualcosa che ti interessa.
In realtà la dimostrazione, se c'è, dovrebbe essere in statistic of directional data, ma nella versione del 72, forse anche nella seconda edizione del '99, ma anche quella non si trova più
Sto guardando bene la formula della densità e mi sto convincendo che forse l'idea di passare alla rappresentazione polare e poi marginalizzare potrebbe essere la soluzione. Cerco di fare reverse engineering, parto dal risultato e vedo come cavolo potrebbe averlo trovato 
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