Cambio di numerario

[mobley]

Buon pomeriggio a tutti ragazzi e buona Pasqua!
Sto cercando di venire a capo di una dimostrazione e c'è un passaggio che proprio non mi è chiaro, spero possiate aiutarmi.
Sia $ \Pi_t=E^QQ[e^(-\int_(t)^(T)r_sds)X_T|F_t] $ la stima che in $t$ viene fatta del valore che assumerà una certa quantità al tempo finale $T$. Si tenga presente che:

a) ponendoci all'istante $0$, per la martingalità che la contraddistingue, si può eliminare il condizionamento:
$ \Pi_0=E^QQ[e^(-\int_(0)^(T)r_sds)X_T] $
[/list:u:36kcavl1]
b) dato $B_T:=e^(\int_(0)^(T)r_sds)$, abbiamo che $ \Pi_0=E^QQ[X_T/B_T]$;
[/list:u:36kcavl1]
c) per il Teorema del Cambio di numerario è sempre ammesso il passaggio da una misura martingala ad un'altra tramite derivata di Radon-Nikodym a patto che il processo scelto quale nuovo numerario sia strettamente positivo e goda di $QQ$-martingalità. Assumendo allora che ciò sia vero, e che la derivata di R-N che ammette operativamente lo shift sia $ L(\omega)=(dQQ^T)/(dQQ)=(P(t,T))/(B_tP(0,T) $ con $ tilde(L)=1/L $, avremo che:

$ E^QQ[X]=E^(QQ^T)[Xtilde(L)]hArr E^QQ[X_T/B_T]=E^(QQ^T)[X_T/B_Ttilde(L)]=E^(QQ^T)[X_T/B_T(B_tP(0,T))/(P(t,T))]$
Osservando che la stima fatta in $0$ riguarda il valore che assumerà la quantità all'istante finale $T$, posto $P(T,T):=1$, avremo $ \Pi_0=E^(QQ^T)[X_T/B_T(B_TP(0,T))/(P(T,T))]=P(0,T)E^(QQ^T)[X_T] $. E banalmente $ \Pi_t=P(t,T)E^(QQ^T)[X_T|F_t] $.[/list:u:36kcavl1]
Sia ora $X_T:=(S_T-K)^+$, con $K$ costante. Siccome $ (S_T-K)^+=(S_T-K)mathbb(I)_{{S_T>=K}}= S_T mathbb(I)_{{S_T>=K}}-Kmathbb(I)_{{S_T>=K}} $ avrò che:

$ \Pi_t=E^QQ[e^(-\int_(t)^(T)r_sds)(S_T-K)^+|F_t]=E^(QQ)[(e^(\int_(0)^(t)r_sds))/(e^(\int_(0)^(T)r_sds))(S_T mathbb(I)_{{S_T>=K}}-Kmathbb(I)_{{S_T>=K}})|F_t]=E^(QQ)[(B_t)/(B_T)S_T mathbb(I)_{{S_T>=K}}|F_t]-KE^QQ[B_t/B_Tmathbb(I)_{{S_T>=K}}] $

Bene. Ora iniziano i problemi. Il docente afferma che operando un cambio di numeraire da $QQ$ a $QQ^T$ per entrambi i valori attesi si ottiene $S_tE^(QQ^S)[mathbb(I)_{{S_T>=K}}|F_t]-KE^(QQ^T)[mathbb(I)_{{S_T>=K}}]P(0,T) $. Ovviamente la presenza di $P(0,T)$ a moltiplicare il secondo valore atteso lascerebbe intendere questo, e quindi implicitamente l'utilizzo della derivata di Radon-Nikodym, tuttavia in entrambi i casi rimango con un $B_t$ in parentesi che non riesco a togliere.
Inoltre ho pensato, relativamente al primo valore atteso, che potesse essere sufficiente applicare la definizione di martingalità anziché un cambio di misura dato che in questo modo si avrebbe proprio $S_t$ fuori da parentesi (supponendo tuttavia di poter spezzare il valore condizionato nel prodotto di due valori attesi); cionondimeno la $QQ^S$-martingala non sembra confermarlo.
Qualcuno è in grado di aiutarmi? Mi auguro di non essere dilungato troppo!

[mobley]

EDIT: $r_s$ non è deterministico ma stocastico.

[mobley]

Non avendo ricevuto risposte temo di aver sbagliato sezione. Probabilmente avrei dovuto scrivere in Stastica, anche se il problema credo sia di natura più matematica che altro. In ogni caso chiedo alla moderazione di spostarlo. Grazie