Calcolo Variabile aleatoria discreta
Buongiorno a tutti! Sono un nuovo utente del forum. Mi sono iscritto a questo forum perchè mi trovo in difficoltà con la risoluzione di esercizi di calcolo delle probabilità. Spero possiate darmi una mano a venirne fuori, purtroppo nn sono portato per questa materia e anche l'esercizio più banale mi manda in crisi. Come per esempio quello che sto per sottoporvi.
Esercizio:
Si forma la classifica di punteggi di 10 studenti, 5 maschi e 5 femmine. Non vi sono ex aequo e tutte le classifiche hanno pari probabilità. Sia X la variabile aleatoria che indica la migliore posizione ottenuta da una studentessa ( ad esempio X=2 se il primo è un maschio e la seconda una femmina).
Calcola per i=1,2,...,10 quanto vale P(X=i).
Senza alcun calcolo considero: P(X=7), P(X=8), P(X=9) e P(X=10) tutte uguali a 0 poichè essendo 5 studentesse, se anche arrivassero tutte in fondo alla classifica, la posizione più alta occupata da una ragazza sarebbe la posizione numero 6.
Inoltre considero P(X=1) = 0.5 dato che sia uno studente che una studentessa hanno pari possibilità di raggiungere la prima posizione.
La mia difficoltà si manifesta nel cercare le altre probabilità.
Qualcuno può suggerirmi come proseguire?
Saluti!
Esercizio:
Si forma la classifica di punteggi di 10 studenti, 5 maschi e 5 femmine. Non vi sono ex aequo e tutte le classifiche hanno pari probabilità. Sia X la variabile aleatoria che indica la migliore posizione ottenuta da una studentessa ( ad esempio X=2 se il primo è un maschio e la seconda una femmina).
Calcola per i=1,2,...,10 quanto vale P(X=i).
Senza alcun calcolo considero: P(X=7), P(X=8), P(X=9) e P(X=10) tutte uguali a 0 poichè essendo 5 studentesse, se anche arrivassero tutte in fondo alla classifica, la posizione più alta occupata da una ragazza sarebbe la posizione numero 6.
Inoltre considero P(X=1) = 0.5 dato che sia uno studente che una studentessa hanno pari possibilità di raggiungere la prima posizione.
La mia difficoltà si manifesta nel cercare le altre probabilità.
Qualcuno può suggerirmi come proseguire?
Saluti!
Risposte
Forse è utile anche scriverlo in forma più simbolica, così che si possa applicare il ragionamento a problemi più complessi. A patto che si conoscano le definizioni di combinazioni/disposizioni/permutazioni. Provo e spero di non sbagliare:
Il numero di casi totali è naturalmente la permutazione di 10 persone, cioè $P_{10}$
Se la studentessa più brava è in posizione $i$, vuol dire che prima di lei si sono disposti $i-1$ dei 5 maschi e dopo di lei.. le altre $10-i$ persone permutate come pare a loro
. Tale femmina più brava è una delle 5. Perciò il numero di casi favorevoli è $5 D_{5,i-1} P_{10-i}$. Sicché la probabilità può scriversi come
$Pr\{X = i\} = \frac{5 D_{5,i-1} P_{10-i}}{P_{10}} = \frac{5 \frac{5!}{(5-i+1)!} (10-i)!}{10!}$
che fornisce i risultati giustamente pensati e scritti da @tommik
Enrico Maria
Il numero di casi totali è naturalmente la permutazione di 10 persone, cioè $P_{10}$
Se la studentessa più brava è in posizione $i$, vuol dire che prima di lei si sono disposti $i-1$ dei 5 maschi e dopo di lei.. le altre $10-i$ persone permutate come pare a loro
. Tale femmina più brava è una delle 5. Perciò il numero di casi favorevoli è $5 D_{5,i-1} P_{10-i}$. Sicché la probabilità può scriversi come$Pr\{X = i\} = \frac{5 D_{5,i-1} P_{10-i}}{P_{10}} = \frac{5 \frac{5!}{(5-i+1)!} (10-i)!}{10!}$
che fornisce i risultati giustamente pensati e scritti da @tommik
Enrico Maria
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo