Calcolo Valore Atteso applicato al gioco della roulette

[andy941]

Buongiorno a tutti, quello di cui sto per parlare non è un esercizio di scuola ma una semplice curiosità sulla quale, però, ho dei problemi. Premessa:
Un mio amico dell'università mi ha spiegato come si possa giocare alla roulette in vantaggio rispetto al banco con una strategia precisa, amando calcolare le probabilità mi sono armato di carta e penna e ho voluto verificare, prima però spieghiamo un po' di cose:

Coloro che conoscono il gioco della roulette (ricordo che ha 37 numeri dallo 0 al 36) sanno che tra le puntate ammesse ci sono anche quelle per dozzine, ovvero si può puntare sulla prima dozzina (da 1 a 12), sulla seconda (da 13 a 24) e sulla terza (da 25 a 36). Se si indovina in quale dozzina cadrà la pallina il banco pagherà 3 volte la nostra puntata.

Supponendo di poter giocare 102,30 € (poi capirete perchè questa cifra), allora il giocatore potrebbe attuare la strategia che segue per poter battere il banco:
1) Scegliere una delle tre dozzine
2) Puntare 0,10 € su quella scelta nel punto precedente.
3) - Se si vince, tornare al punto 2)
- Se si perde, puntare il doppio di quanto puntato precedentemente su quella dozzina e così via.

Ora, in questo modo, una volta scelta una dozzina si avranno ben 10 tentativi di vincere dei soldi prima di finire quelli a nostra disposizione all'inizio della partita, ovvero 102,30 €. Infatti:
0,10 + 0,20 + 0,40 + 0,80 + 1,60 + 3,20 + 6,40 + 12,80 + 25,60 + 51, 20 = 102,30

Provando a calcolare il valore atteso all'inizio della partita, se non ricordo male dal mio corso di statistica all'università si ha che la probabilità di perdere tutte e 10 le volte è pari a: (25/37)^10 = 0,0198 circa, arrotondiamo pure a 0,02, ovvero il 2%.

Di conseguenza, la probabilità di vincere è pari al 98%, ma dato che quando ci va male perdiamo 102,30€, il gioco vale la candela? Qual è il valore medio della nostra vincita?
Qui ho dei dubbi sui passaggi e chiedo cortesemente una vostra conferma, almeno per capire se il procedimento è giusto:

Prendiamo le 10 vincite eventuali e le moltiplichiamo per le rispettive probabilità.
La "prima" vincita è quella fatta al primo colpo, quindi vincendo 20 centisimi (ne intaschiamo 30 ma ne abbiamo giocati 10), e cosi via:

**poniamo per semplicità m = 25/37

0,20 x (12/37) + 0,40 x ( m x 12/37) + 0,80 x (m^2 x 12/37) + 1,60 x (m^3 x 12/37) + 3,20 x (m^4 x 12/37) + 6,40 x (m^5 x 12/37) + 12,80 x (m^6 + 12/37) + 25,60 x (m^7 + 12/37) + 51,20 x (m^8 + 12/37) + 102,40 x (m^9 + 12/37) = 3,51 circa, arrotondando al ribasso.

A questo punto, calcolando il valore atteso complessivo in questo modo: (3,51 x 0,98 ) - (102,30 x 0,02) = 1,3920

Cioè un valore atteso positivo!? A me sembra troppo strano che in un gioco del genere venga lasciato questo margine per i giocatori, sono decisamente convinto di aver sbagliato qualcosa, potete aiutarmi per favore?

Nota: non è che quel 3,51 va diviso per il numero di giocate, cioè 10?

[kobeilprofeta]

quello di cui parli tu, se ho capito bene, è il famosissimo metodo del raddoppio (o simile)

guarda questa discussione e leggila tutta. Nella prima pagina viene "spiegato" questo metodo del raddoppio

[markowitz]

"andy94":
Provando a calcolare il valore atteso all'inizio della partita,

mossa giusta

"andy94":
se non ricordo male dal mio corso di statistica all'università si ha che la probabilità di perdere tutte e 10 le volte è pari a: (25/37)^10 = 0,0198 circa, arrotondiamo pure a 0,02, ovvero il 2%.

vale per l'indipendenza ed è corretto

"andy94":
Di conseguenza, la probabilità di vincere è pari al 98%, ma dato che quando ci va male perdiamo 102,30€, il gioco vale la candela? Qual è il valore medio della nostra vincita?
Qui ho dei dubbi sui passaggi e chiedo cortesemente una vostra conferma, almeno per capire se il procedimento è giusto:

Prendiamo le 10 vincite eventuali e le moltiplichiamo per le rispettive probabilità.
La "prima" vincita è quella fatta al primo colpo, quindi vincendo 20 centisimi (ne intaschiamo 30 ma ne abbiamo giocati 10), e cosi via:

**poniamo per semplicità m = 25/37

0,20 x (12/37) + 0,40 x ( m x 12/37) + 0,80 x (m^2 x 12/37) + 1,60 x (m^3 x 12/37) + 3,20 x (m^4 x 12/37) + 6,40 x (m^5 x 12/37) + 12,80 x (m^6 + 12/37) + 25,60 x (m^7 + 12/37) + 51,20 x (m^8 + 12/37) + 102,40 x (m^9 + 12/37) = 3,51 circa, arrotondando al ribasso.

A questo punto, calcolando il valore atteso complessivo in questo modo: (3,51 x 0,98 ) - (102,30 x 0,02) = 1,3920

Cioè un valore atteso positivo!? A me sembra troppo strano che in un gioco del genere venga lasciato questo margine per i giocatori, sono decisamente convinto di aver sbagliato qualcosa, potete aiutarmi per favore?

Il procedimento che usi è sbagliato per vari motivi.
Innanzitutto nelle ultime 4 parentesi della prima formula hai messo il + al posto del x, ma penso sia solo un refuso ... che però ti fa sbagliare il calcolo.
La seconda formula che usi è concettualmente corretta ma, se intendo bene quello che volevi fare, il primo termine $3,51$ vorrebbe essere il valore atteso condizionale alla vittoria ... ed è un'idea giusta.
Tuttavia anche se avessi messo il x non andrebbe bene lo stesso; ovvero quello che trovavi $0,1821...$, se faccio i conti bene, non è il valore condizionale cercato e te ne puoi rendere conto innanzitutto dal fatto che la somma delle probabilità che utilizzi non è $1$ cosa che invece dovrebbe essere. Il valore atteso altro non è che una media pesata.
Trovare quel valore atteso non è immediato ... ci sono vari modo di impostare il problema ed io te ne consiglio un'altro.

A livello diciamo statico calcolare il valore atteso di una strategia alla Roulette è semplice, almeno nei casi base. Nel caso delle dozzine, scommettendo un pezzo (non importa il valore della chip):
$E[V]=(12/37)*2 - (25/37)*1=-1/37$
ovvero in termini attesi perdi $1/37$ pezzi per ogni pezzo scommesso.
N.B: $V=$ vincita, $2$ sono i pezzi netti vinti in caso di vittoria ed $1$ è il pezzo scommesso perso in caso di sconfitta.
Ti puoi render conto agevolmente che giocando $N$ pezzi andresti incontro ad una vincita attesa di $-N/37$ pezzi, ovvero una perdita attesa che aumenta all'aumentare di $N$.

Molto tempo fa mi ero proposto di dimostrare che per quanto studiata ed articolata fosse la giocata (varie puntate combinate in ogni possibile modo) il risultato sopra fosse sempre vero, ma il conto non è sempre agevole ... naturalmente si complica al complicarsi delle combinazioni di puntate. In seconda battuta dal punto di vista diciamo dinamico, nonostante le frequenti "interferenze psicologiche", la cosa non dovrebbe cambiare molto ovvero anche costruendo una strategia, per quanto articolata, che procede per step successivi, e qui ci si può davvero sbizzarrire, ... il valore atteso complessivo dovrebbe sempre valere $-N/37$ dove $N$ è il numero di pezzi totali giocati non importa quanti dei quali allo step uno,due,tre, ecc ... .
Peraltro si deve notare che l'introduzione dei vari step introduce aleatorietà anche in $N$ ... a meno di accontentarsi di valori attesi condizionali ad un certo step.

Un argomento intuitivo abbastanza facile ed anche particolarmente forte per pensare ad una dimostrazione è l'indipendenza delle prove. Ovvero una volta dimostrata la perdita attesa nel caso statico, che nel caso della scommessa su una dozzina è immediata, ne segue subito che tale perdita attesa è una funzione linearmente crescente in $N$, appunto $N/37$ nel caso delle dozzine ... e secondo me anche in ogni altro(*). Dopodichè l'aspetto dinamico dovrebbe andar da se per via dell'indipendenza, ovvero ripeto torniamo ancora a $N/37$,... ma si può essere più esaustivi ...

Ad ogni modo per l'esempio che proponi ti posso garantire che il risultato di cui parlo è valido, ovvero il valore atteso che cerchi è negativo e crescente, in valore assoluto, al crescere degli step che consideri possibili ...
nella strategia delle dozzine al raddoppio di cui sopra, all'inizio della strategia, dovrebbe essere $(-102,3)/37$.

Mi dispiace ma il tuo amico che propone questo metodo per "essere in vantaggio" rispetto al banco ... si sbaglia

(*)In realtà andrebbe fatta una piccola precisazione che spesso sfugge. Alla Roulette francese (numeri da 0 a 37 come sopra) le chance ROSSO/NERO - MANQUE/PASSE' - PAIR/IMPAIR pagano una volta la posta scommessa, come tutti sanno, ma nel caso di uscita dello $0$ non si ha una vera "sconfitta" come in tutte le altre puntate ovvero scatta una sorta di "imprigionamento" in alcuni casinò dimezzano la posta scommessa che è probabilisticamente equivalente.
Considerando questo aspetto tali tipi di puntate, dal punto di vista del valore atteso, sono più vantaggiose delle altre.
Per concludere notare anche che la Roulette americana, quella con in più il doppio 0, che, pur rimanendo uno dei giochi più equilibrati, naturalmente è già di per se più svantaggiosa della francese e non ammette l'imprigionamento.