Calcolo Stimatore ML della pdf
Considerato un campione aleatorio Y di cardinalità N estratto dalla popolazione U(a,b) , determinare lo stimatore ML della pdf della popolazione ed analizzarne le prestazioni.
A tal fine si assuma a=0 e b=1 , N=50,500 .
Qualcuno può aiutarmi su come procedere?
Grazie
A tal fine si assuma a=0 e b=1 , N=50,500 .
Qualcuno può aiutarmi su come procedere?
Grazie
Risposte
Il campione aleatorio Y è composto da N v.a. uniformi U(a,b).
Si deve determinare lo stimatore ML della pdf.
Nel caso di v.a. uniforme la pdf è data dalla seguente espressione :
$f(y|a,b)_Y$ = $1/(b-a)$ [$u(y-a)-u(y-b)$]
Nel nostro caso a=0 pertanto la pdf è espressa in funzione del solo parametro b.
Si deve determinare lo stimatore ML della pdf.
Nel caso di v.a. uniforme la pdf è data dalla seguente espressione :
$f(y|a,b)_Y$ = $1/(b-a)$ [$u(y-a)-u(y-b)$]
Nel nostro caso a=0 pertanto la pdf è espressa in funzione del solo parametro b.
ok $a=0$ ma dalla traccia non si capiva. Hai scritto si ponga $a=0$ e $b=1$. Con $a=0$ il problema è già risolto.
Scrivi la funzione di verosimiglianza e massimizzala...non mi pare un problema proibitivo. Intanto per essere precisi almeno b dovrebbe essere incluso nel dominio...altrimenti non puoi risolvere.....a volte i testi si "dimenticano" di questo particolare....
Scrivi la funzione di verosimiglianza e massimizzala...non mi pare un problema proibitivo. Intanto per essere precisi almeno b dovrebbe essere incluso nel dominio...altrimenti non puoi risolvere.....a volte i testi si "dimenticano" di questo particolare....
Guarda il vero testo dell'Esercizio è :
"Considerato un campione aleatorio Y di cardinalità N estratto dalla popolazione U(a,b) , determinare lo stimatore ML della pdf della popolazione, analizzarne le prestazioni ed illustrarle con un diagramma di dispersione ;a tal fine si assuma a=0 e b=1 , N=50,500 " .
In realtà ho difficoltà a comprendere il testo .
Già in partenza devo considerare a=0 e b=1 ?!
"Considerato un campione aleatorio Y di cardinalità N estratto dalla popolazione U(a,b) , determinare lo stimatore ML della pdf della popolazione, analizzarne le prestazioni ed illustrarle con un diagramma di dispersione ;a tal fine si assuma a=0 e b=1 , N=50,500 " .
In realtà ho difficoltà a comprendere il testo .
Già in partenza devo considerare a=0 e b=1 ?!
dunque prima di tutto come regola generale sarebbe buona cosa scrivere sempre il testo completo di tutto....il problema è diviso in due:
1) la ricerca dello stimatore di ML
2) analisi delle prestazioni di tale stimatore data la distribuzione $U[0;1]$ da effettuare per passi...da 50 a 500 (che so....per passo 10)
1) la ricerca dello stimatore di ML
2) analisi delle prestazioni di tale stimatore data la distribuzione $U[0;1]$ da effettuare per passi...da 50 a 500 (che so....per passo 10)
PS: Cmq indica che una volta va utilizzato N=50 ed una volta N=500 .
Per trovare lo stimatore ML scriviamo la verosimiglianza:
$L(x,a,b)=1/(b-a)^nI_((-oo;x_((1))])(a)I_([x_((n));+oo))(b)$
dove con $x_((1))$ si intende il più piccolo valore del campione e con $x_((n))$ il più grande.
a questo punto è evidente che la verosimiglianza è massima quando $hat(b)=x_((n))$ e $hat(a)=x_((1))$
e quindi lo stimatore lo abbiam trovato: $hat(theta)=max(x)-min(x)$
e ciò si può vedere anche fattorizzando la densità e trovando le statistiche congiuntamente sufficienti.
Per analizzare le prestazioni è necessario calcolare:
$E[hat(theta)]=E[max(x)-min(x)]=(n-1)/(n+1)$
ottenibile semplicemente ricordando che $E[X+-Y]=E[X]+-E[Y]$
$V[hat(theta)]=V[max(x)]+V[min(x)]-2Cov[max(x);min(x)]=(2(n-1))/((n+1)^2(n+2))~=0$
Il calcolo della covarianza è semplice se $n=2$ altrimenti la faccenda si complica. Io l'ho calcolata utilizzando la distribuzione delle statistiche d'ordine (con le quali sarebbe stato possibile risolvere tutto l'esercizio)
...ma nel tuo caso, con $n=50$ o addirittura $n=500$, possiamo tralasciarla senza avere differenze significative sul risultato.
E' infatti evidente che la dipendenza del massimo valore campionario dalla realizzazione del minimo è tanto minore quanto più ampio è il campione. Per $n=2$ è facile vedere che la covarianza è $1/2\cdot1/2-2/3\cdot1/3=1/36$ e tale valore scende al crescere di $n$. Quindi senza tirare in ballo la distribuzione congiunta delle statistiche d'ordine possiamo tranquillamente approssimare la varianza della statistica di interesse nel seguente modo:
$V[hat(theta)]~=V[max(x)]+V[min(x)]=(2n)/((n+1)^2(n+2))~=0$
Infine l'errore quadratico medio:
$MSE(hat(theta))=V[hat(theta)]+(B i a s)^2=....$
$L(x,a,b)=1/(b-a)^nI_((-oo;x_((1))])(a)I_([x_((n));+oo))(b)$
dove con $x_((1))$ si intende il più piccolo valore del campione e con $x_((n))$ il più grande.
a questo punto è evidente che la verosimiglianza è massima quando $hat(b)=x_((n))$ e $hat(a)=x_((1))$
e quindi lo stimatore lo abbiam trovato: $hat(theta)=max(x)-min(x)$
e ciò si può vedere anche fattorizzando la densità e trovando le statistiche congiuntamente sufficienti.
Per analizzare le prestazioni è necessario calcolare:
$E[hat(theta)]=E[max(x)-min(x)]=(n-1)/(n+1)$
ottenibile semplicemente ricordando che $E[X+-Y]=E[X]+-E[Y]$
$V[hat(theta)]=V[max(x)]+V[min(x)]-2Cov[max(x);min(x)]=(2(n-1))/((n+1)^2(n+2))~=0$
Il calcolo della covarianza è semplice se $n=2$ altrimenti la faccenda si complica. Io l'ho calcolata utilizzando la distribuzione delle statistiche d'ordine (con le quali sarebbe stato possibile risolvere tutto l'esercizio)
...ma nel tuo caso, con $n=50$ o addirittura $n=500$, possiamo tralasciarla senza avere differenze significative sul risultato.
E' infatti evidente che la dipendenza del massimo valore campionario dalla realizzazione del minimo è tanto minore quanto più ampio è il campione. Per $n=2$ è facile vedere che la covarianza è $1/2\cdot1/2-2/3\cdot1/3=1/36$ e tale valore scende al crescere di $n$. Quindi senza tirare in ballo la distribuzione congiunta delle statistiche d'ordine possiamo tranquillamente approssimare la varianza della statistica di interesse nel seguente modo:
$V[hat(theta)]~=V[max(x)]+V[min(x)]=(2n)/((n+1)^2(n+2))~=0$
Infine l'errore quadratico medio:
$MSE(hat(theta))=V[hat(theta)]+(B i a s)^2=....$
Nel caso da te ipotizzato la pdf dipende unicamente dal parametro b.
Essendo la pdf espressa in fuznione del solo parametro b per il principio di invarianza è possibile determinare lo stimatore f cappello ML a partire dal suo stimatore ML.
Si scrive poi la verosomiglianza di Y per determinare lo stimatore b cappello ML ed una volta determinato lo si sostituisce nell'espressione della f cappello ML.
(in particolare la funzione di verosomiglianza non dipende dalle singole osservazioni ma solo dal loro massimo cioè solo dal valore della statistica sufficiente)
Essendo la pdf espressa in fuznione del solo parametro b per il principio di invarianza è possibile determinare lo stimatore f cappello ML a partire dal suo stimatore ML.
Si scrive poi la verosomiglianza di Y per determinare lo stimatore b cappello ML ed una volta determinato lo si sostituisce nell'espressione della f cappello ML.
(in particolare la funzione di verosomiglianza non dipende dalle singole osservazioni ma solo dal loro massimo cioè solo dal valore della statistica sufficiente)
$hat(b)_ML$ = argmax[$(1/b^(N))$u(b-$Y_MAX$]
Ingegneria delle TLC (specialistica)
Ing delle TLC
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