Calcolo distribuzione
Salve a tutti, sono nuovo nel forum e spero di non aver sbagliato nulla, sono alle prese con un problema di un esame di calcolo di probabilità e statistica, riguardo al calcolo di una densità di 2 variabili aleatorie, ma non riesco a capire assoutamente come poter procedere. La traccia è la seguente:"Siano X; Y indipendenti e con distribuzione uniforme in [0; 1]. Calcolare la distribuzione di Y - 2X." Ho le soluzioni che ha dato il professore ma non ne vengo a capo. Ringrazio in anticipo chiunque mi può essere d'aiuto
Risposte
basta usare la definizione di CDF. In questa pagina troverai numerosi esercizi pressoché identici. Se hai un attimo di pazienza di mostro come si fa....però nel forum sono gradite anche le bozze di soluzione ed i tentativi....altrimenti diventa un quizzone
Prima di tutto osserviamo che il dominio della variabile $Z=Y-2X$ è il seguente: $Z in [-2;1]$
inoltre osserviamo che
$F(Z)=P(Z<=z)=P(y-2x<=z)=P(y<=2x+z)$
a questo punto basta guardare il grafico e valutare le aree di interesse
fine del problema
Prima di tutto osserviamo che il dominio della variabile $Z=Y-2X$ è il seguente: $Z in [-2;1]$
inoltre osserviamo che
$F(Z)=P(Z<=z)=P(y-2x<=z)=P(y<=2x+z)$
a questo punto basta guardare il grafico e valutare le aree di interesse
fine del problema
Grazie della risposta. La questione è che ho provato a risolvere in vari modi ma nessuna soluzione è uguale a quella data dal prof. Ti riporto dapprima la soluzione data dal professore:
Il vettore aleatorio (X; Y ) ha densita' uniforme nel quadrato [0; 1]^2.
Inoltre -2 < Y - 2X < 1 e quindi, se W = Y - 2X, P(W< t) = 0 per t < 2 e P(W < t) = 1 per t > 1.
Se -2< t <1, P(W
Io fino al discorso dell'area sottesa dalla curva mi ci ritrovo, il problema viene proprio per il calcolo di quell'area al variare di t
Il vettore aleatorio (X; Y ) ha densita' uniforme nel quadrato [0; 1]^2.
Inoltre -2 < Y - 2X < 1 e quindi, se W = Y - 2X, P(W< t) = 0 per t < 2 e P(W < t) = 1 per t > 1.
Se -2< t <1, P(W
Io fino al discorso dell'area sottesa dalla curva mi ci ritrovo, il problema viene proprio per il calcolo di quell'area al variare di t
up
guarda ho fatto i conti in fretta ma mi viene così:
$
F(Z)-={{: ( 0 , ;z<-2 ),( (1+z/2)^2 , ;-2<=z<-1 ),( (3+2z)/4 , ;-1<=z<0 ),( 1-(1-z)^2/4 , ;0<=z<1 ),( 1 , ;z>=1 ) :}$
considera quanto segue...per $z in [-2;-1)$ il grafico è il seguente
e la tua CDF è l'area grigia, quindi è $(1+z/2)(2+z)/2=(1+z/2)^2$
aumentando il valore di z la retta si sposta verso l'alto, disegnando prima un trapezio e poi, $(1-F) $, di nuovo un triangolo...basta valutare le aree di conseguenza...io ho fatto i conti in quattro e quattrotto, mentre lavoro e senza perderci troppo tempo....verifica, controlla ma mi esce esattamente come al tuo prof....quindi direi che è tutto ok
buon week end
$
F(Z)-={{: ( 0 , ;z<-2 ),( (1+z/2)^2 , ;-2<=z<-1 ),( (3+2z)/4 , ;-1<=z<0 ),( 1-(1-z)^2/4 , ;0<=z<1 ),( 1 , ;z>=1 ) :}$
considera quanto segue...per $z in [-2;-1)$ il grafico è il seguente
e la tua CDF è l'area grigia, quindi è $(1+z/2)(2+z)/2=(1+z/2)^2$
aumentando il valore di z la retta si sposta verso l'alto, disegnando prima un trapezio e poi, $(1-F) $, di nuovo un triangolo...basta valutare le aree di conseguenza...io ho fatto i conti in quattro e quattrotto, mentre lavoro e senza perderci troppo tempo....verifica, controlla ma mi esce esattamente come al tuo prof....quindi direi che è tutto ok
buon week end
Grazie innanzitutto della disponibilità. Allora io provo a trovare gli estremi di integrazione imponendo $ 0< z + 2x < 1 $ , trovando che $ -z/2< x < (1-z)/2 $ e da qui devo scegliere gli estremi di integrazione $ max[0, -z/2] e min[1, (1-z)/2] $ al variare di $ z in [-2, 1] $ ed integrare rispetto alla sola variabile Y? Almeno è quello che ho capito guardando l'esampio analogo però della somma di 2 variabili aleatorie X ed Y. Forse però sbaglio proprio ad impostare l'integrale
non serve alcun integrale....devi solo fare il calcolo delle aree che ti ho indicato...triangoli, trapezi ecc ecc
se invece $z in [-1;0)$ allora il grafico sarà questo
e qundi l'area del trapezio (base maggiore + base minore) x altezza :2 sarà
$(1+z/2+1-(1-z)/2)1/2=(3+2z)/4$
Quando $z>=0$ l'area del trapezio la calcoli facendo uno meno l'area del triangolino sopra....ed hai finito
(sorry...ho finito, perché tu in questo esercizio hai fatto ben poco....)
se invece $z in [-1;0)$ allora il grafico sarà questo
e qundi l'area del trapezio (base maggiore + base minore) x altezza :2 sarà
$(1+z/2+1-(1-z)/2)1/2=(3+2z)/4$
Quando $z>=0$ l'area del trapezio la calcoli facendo uno meno l'area del triangolino sopra....ed hai finito
(sorry...ho finito, perché tu in questo esercizio hai fatto ben poco....)
Dal disegno che hai fatto credo di aver capito, almeno per l'intervallo $ [-2,-1] $ , ora cerco di usare lo stesso metodo per gli altri intervalli. Grazie ancora
ti ho già disegnato anche il secondo...ti manca solo l'ultimo: $z in [0;1]$
qui l'area che ci interessa è quella bianca, ma ci conviene fare il complemento ad uno facendo uno meno l'area del triangolino grigio:
$F(z)=1-(1-z)(1-z)/2 1/2=1-(1-z)^2/4$
e con questo abbiamo finito
qui l'area che ci interessa è quella bianca, ma ci conviene fare il complemento ad uno facendo uno meno l'area del triangolino grigio:
$F(z)=1-(1-z)(1-z)/2 1/2=1-(1-z)^2/4$
e con questo abbiamo finito
Mi hai anticipato su tutto, ti ringrazio veramente tanto, mi hai dato un enorme aiuto, ora mi studio con calma i grafici che hai fatto e proverò a risolvere gli altri esercizi d'esame simili. Grazie ancora
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