Calcolo di un integrale definito della curva gaussiana
Ciao a tutti!
Spero di aver scelto la sezione giusta
Ho un dubbio teorico/pratico nato direttamente dai miei appunti di fisica dove ho scritto:
Per calcolare la probabilità che un valore x cada in un certo intervallo (a,b) devo calcolare l'integrale:
[size=150]$int_(a)^(b) 1/(root()(2pi^2)) * e^((-(t-t_(m))^2)/(2pi^2))$[/size]
Domanda 1: perchè calcolo l'integrale di questa funzione e non della funzione gaussiana?
Curva di Gauss =[size=150]$ P(t) = 1/(root()(2pi(σ^2))) * e^((-(t-t_(m))^2)/(2σ^2))$[/size]
(dove $t_(m) =$ valor medio e $σ=$ deviazione standard)
Poi in seguito c'è scritto che per calcolare quell'integrale devi risolverlo per sostituzione con $x= -(t-t_(m))/σ$, $dx= 1/σ dt$
Domanda 2: Come so che la derivata è$ 1/σ $?
Alla fine con la sostituzione dell'integrale semplifica i $σ$ e passa alla curva normale standard, per poi spiegare la distribuzione della probabilità cumulata (primitiva della normale standard) ma anche sapendo dove vuole andare a parare non mi spiego la domanda 1
Ricordo: curva normale standard (con $t_(m)=0$ e $σ=1$) = [size=150]$N(x) = 1/(root()(2pi)) * e^((-x^2)/2)$[/size]
Grazie per la vostra infinita pazienza!!
Spero di aver scelto la sezione giusta
Ho un dubbio teorico/pratico nato direttamente dai miei appunti di fisica dove ho scritto:
Per calcolare la probabilità che un valore x cada in un certo intervallo (a,b) devo calcolare l'integrale:
[size=150]$int_(a)^(b) 1/(root()(2pi^2)) * e^((-(t-t_(m))^2)/(2pi^2))$[/size]
Domanda 1: perchè calcolo l'integrale di questa funzione e non della funzione gaussiana?
Curva di Gauss =[size=150]$ P(t) = 1/(root()(2pi(σ^2))) * e^((-(t-t_(m))^2)/(2σ^2))$[/size]
(dove $t_(m) =$ valor medio e $σ=$ deviazione standard)
Poi in seguito c'è scritto che per calcolare quell'integrale devi risolverlo per sostituzione con $x= -(t-t_(m))/σ$, $dx= 1/σ dt$
Domanda 2: Come so che la derivata è$ 1/σ $?
Alla fine con la sostituzione dell'integrale semplifica i $σ$ e passa alla curva normale standard, per poi spiegare la distribuzione della probabilità cumulata (primitiva della normale standard) ma anche sapendo dove vuole andare a parare non mi spiego la domanda 1
Ricordo: curva normale standard (con $t_(m)=0$ e $σ=1$) = [size=150]$N(x) = 1/(root()(2pi)) * e^((-x^2)/2)$[/size]
Grazie per la vostra infinita pazienza!!
Risposte
"Bertucciamaldestra":
Domanda 1: perchè calcolo l'integrale di questa funzione e non della funzione gaussiana?
Domanda 2: Come so che la derivata è$ 1/σ $?
Risposta 1: perché hai scritto male gli appunti (del resto non hai nemmeno specificato rispetto a quale variabile stai integrando). Se almeno sotto radice ci fosse $sqrt(2pi^3)$ la formula sarebbe giusta ma si riferirebbe ad una particolare gaussiana di media $t_m$ e varianza $pi^2$
Risposta 2: anche qui la sostituzione corretta è questa $X=(T-t_m)/sigma$ e la derivata rispetto a T non mi pare una cosa complicata.
PS: sono tutte cose che trovi correttamente spiegate sui libri...o anche in molti topic in questo forum
cordialmente,
Grazie
"Bertucciamaldestra":
Poi in seguito c'è scritto che per calcolare quell'integrale devi risolverlo per sostituzione con $x= -(t-t_(m))/σ$, $dx= 1/σ dt$
...
Alla fine con la sostituzione dell'integrale semplifica i $σ$ e passa alla curva normale standard, per poi spiegare la distribuzione della probabilità cumulata (primitiva della normale standard) ma anche sapendo dove vuole andare a parare ...
E' un po che non faccio i conti con la Normale ma ti dico che questo integrale non si risolve per sostituzione, almeno nel senso che tipicamente si intende con la parola "risolvere". Non so cosa intendi con "spiegare" ma il problema è proprio che puoi standardizzare (è questo che fai per sostituzione) e basta, la primitiva della standardizzata (intesa come funzione in forma chiusa) non la trovi. In pratica lasci scritta la funzione integrale e guardi i risultati sulle tavole o li trovi col PC. Il PC lavora con un'approssimazione polinomiale.
"markowitz":
[quote="Bertucciamaldestra"]
Poi in seguito c'è scritto che per calcolare quell'integrale devi risolverlo per sostituzione con $x= -(t-t_(m))/σ$, $dx= 1/σ dt$
...
Alla fine con la sostituzione dell'integrale semplifica i $σ$ e passa alla curva normale standard, per poi spiegare la distribuzione della probabilità cumulata (primitiva della normale standard) ma anche sapendo dove vuole andare a parare ...
E' un po che non faccio i conti con la Normale ma ti dico che questo integrale non si risolve per sostituzione, almeno nel senso che tipicamente si intende con la parola "risolvere". Non so cosa intendi con "spiegare" ma il problema è proprio che puoi standardizzare (è questo che fai per sostituzione) e basta, la primitiva della standardizzata (intesa come funzione in forma chiusa) non la trovi. In pratica lasci scritta la funzione integrale e guardi i risultati sulle tavole o li trovi col PC. Il PC lavora con un'approssimazione polinomiale.[/quote]
No no infatti il discorso concettuale che ha fatto il professore era: se devo calcolare l'intervallo fra a e b rigiro l'integrale della gaussiana in modo che mi esca fuori la normale standard come funzione integranda... e questo lo faccio tramite sostituzione, ma poi non lo risolvo, mi calcolo $[F((b-T_(m))/σ) - F((a-T_(m))/σ)]$ con un programma sul pc che ti sappia calcolare la primitiva della normale standard $F$
Non riuscivo a capire la prima parte perchè non avevo scritto bene la funzione gaussiana, comunque grazie per il chiarimento
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