Calcolo di densità di una v.a. partendo da una legge gamma
Sto utilizzando il testo di Paolo Baldi Calcolo delle probabilità per la preparazione dell'esame di statistica e probabilità. Purtroppo non tutti gli esercizi hanno incorporata la soluzione e sto trovando difficoltà con alcuni di essi. Quello che vi sto per proporre mi lascia particolarmente perplesso:
Di primo acchito sono partito come un treno con il metodo che il libro insegna per il calcolo di leggi. Per cui posto $ Y = 1/X $ avrei cercato $ P(Y=1/t)=1-P(X<1/t) $
Peccato che non si conosca la f.r. di una legge gamma!!!
A questo punto mi sono riletto il capitolo sul calcolo di leggi, che in effetti parte dicendo che ci sono alcuni metodi, ma alla fine descrive solo questo (l'ho riletto tre volte). Mi sono riletto il capitolo sulla legge gamma e sulla speranza matematica e Varianza, senza trovare niente.
Ho improvvisato altre soluzione che sapevo in cuor mio non portare a nulla. Ad ogni modo questo problema che non so risolvere rappresenta tutta una parte di problemi simili che non so risolvere per cui se qualcuno sa spiegarmi i concetti che bisogna conoscere per approcciare l'esercizio credo di poter sbloccare tutta una serie di problemi che al momento mi buttano particolarmente giù di morale con la preparazione di questo esame (che faccio da solo a casa in quanto stundente lavoratore...)
Sia $ X $ una v.a $ Gamma (alpha , lambda ) $.
Calcolare $ E(1/X) $ e $ Var(1/X) $[/list:u:3ar2m0kv]
Calcolare la densità di $ 1/X $[/list:u:3ar2m0kv]
Di primo acchito sono partito come un treno con il metodo che il libro insegna per il calcolo di leggi. Per cui posto $ Y = 1/X $ avrei cercato $ P(Y
Peccato che non si conosca la f.r. di una legge gamma!!!
A questo punto mi sono riletto il capitolo sul calcolo di leggi, che in effetti parte dicendo che ci sono alcuni metodi, ma alla fine descrive solo questo (l'ho riletto tre volte). Mi sono riletto il capitolo sulla legge gamma e sulla speranza matematica e Varianza, senza trovare niente.
Ho improvvisato altre soluzione che sapevo in cuor mio non portare a nulla. Ad ogni modo questo problema che non so risolvere rappresenta tutta una parte di problemi simili che non so risolvere per cui se qualcuno sa spiegarmi i concetti che bisogna conoscere per approcciare l'esercizio credo di poter sbloccare tutta una serie di problemi che al momento mi buttano particolarmente giù di morale con la preparazione di questo esame (che faccio da solo a casa in quanto stundente lavoratore...)
Risposte
beh hai avuto la scrittura finale che è giusta. Per trovare la densità non basta derivare?
Basterebbe se si conoscesse la f.r. di una legge gamma che non è nota purtroppo...
qui trovi il necessario, quello che basta è la densità di una gamma...
http://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_Gamma
http://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_Gamma
Mi chiedevo se ci fosse un altro metodo perchè usando wiki e il mio metodo dovrei usare "La sua funzione di ripartizione è la funzione Gamma incompleta inferiore regolarizzata" che non è trattata nel libro di testo
secondo me ti stai perdendo in un bicchiere d'acqua.
Tu sei arrivato a scrivere $P(Y\leq t)=1-P(X<1/t)=1-\int_{-\infty}^{1/t}f_X(x)dx$, concordi?
Ora per trovare $f_Y$ la densità di $Y$ basta fare, penso che tu lo sappia (è un risultato tra quelli importanti) $f_Y(t)=d/(dt)P(Y\leq t)$ e questa è una derivata della funzione composta.
Altrimenti ci sono altri vari modi: qui per esempio puoi trovarne un altro (o su un manuale di calcolo delle probabilità alla voce cambio di variabili per una variabile aleatoria con densità)http://www.roma1.infn.it/~dagos/PRO/node235.html
Tu sei arrivato a scrivere $P(Y\leq t)=1-P(X<1/t)=1-\int_{-\infty}^{1/t}f_X(x)dx$, concordi?
Ora per trovare $f_Y$ la densità di $Y$ basta fare, penso che tu lo sappia (è un risultato tra quelli importanti) $f_Y(t)=d/(dt)P(Y\leq t)$ e questa è una derivata della funzione composta.
Altrimenti ci sono altri vari modi: qui per esempio puoi trovarne un altro (o su un manuale di calcolo delle probabilità alla voce cambio di variabili per una variabile aleatoria con densità)http://www.roma1.infn.it/~dagos/PRO/node235.html
Quindi tu mi suggerisci di risolvere l'integrale in fondo alla mia scrittura, posso provare a farlo stasera a casa anche se penso che risulti in un integrale doppio (la funzione gamma al denominatore della legge gamma contiene un integrale) e poi sull'ottenuto fare la derivata (non mi è chiarissimo questa dicitura: $ f_Y(t)=d/dt*P(Y≤t) $ )
non devi risolvere nulla.
Al denominatore hai una costante! (è un integrale, ma finito, non dipende da $t$)... sostanzialmente devi fare la derivata di una funzione integrale. La dicitura della mia formula vuol dire che, se per esempio $P(Y\leq t)=\int_{-\infty}^t f (x) dx$ allora $f(t)=d/(dt)\int_{-\infty}^t f (x) dx$ e tu devi derivare l'espressione che ho scritto sopra, con $f_{Y}$ ho indicato la densità della variabile $Y$.
Oppure, come ti ho linkato sopra, ci sono altre vie che puoi prendere.
Al denominatore hai una costante! (è un integrale, ma finito, non dipende da $t$)... sostanzialmente devi fare la derivata di una funzione integrale. La dicitura della mia formula vuol dire che, se per esempio $P(Y\leq t)=\int_{-\infty}^t f (x) dx$ allora $f(t)=d/(dt)\int_{-\infty}^t f (x) dx$ e tu devi derivare l'espressione che ho scritto sopra, con $f_{Y}$ ho indicato la densità della variabile $Y$.
Oppure, come ti ho linkato sopra, ci sono altre vie che puoi prendere.
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