Calcolo densità marginale

[sam17091]

Ciao, ho un esercizio che tra varie cose mi chiede di calcolare la densità marginale, naturalmente mi danno la densità congiunta.
Questa è la densità congiunta:

dove $ c=12/7 $

Il mio problema è capire gli estremi di integrazione per il calcolo della densità marginale. Cioè per trovare lòa densità margibnale di y, perchè gli estremi di integrazione sono 0 e 1? (stessa cosa per la densità marginale di x)

$ f_y(b) = int_(0)^(1) 12/7*(x^2+xy) dx $
$ f_x(a) = int_(0)^(1) 12/7*(x^2+xy) dy $

Grazie

[lukath]

Data una variabile aleatoria assolutamente continua $X$ con densità $f_X(x)$, il suo range è dato da

$R_X={x\in RR|f_X(x)>0}$

Stessa cosa per i vettori aleatori continui: se $(X,Y)$ è un vettore aleatorio assolutamente continuo con densità congiunta $f_{(X,Y)}(x,y)$, allora

$R_{(X,Y)}={(x,y)\in RR^2|f_{(X,Y)}(x,y)>0}$

Nel caso in questione, per ipotesi la densità congiunta è maggiore di $0$ solo sul rettangolo $[0,1]\times[0,1]$, dunque:

$f_X(x)=\int_{RR}f_{(X,Y)}(x,y)dy=\int_{0}^{1}12/7 (x^2+xy)dy=12/7 (x^2+x/2)$
$f_Y(y)=\int_{RR}f_{(X,Y)}(x,y)dx=\int_{0}^{1}12/7 (x^2+xy)dx=4/7+1/2 y$
Quando integri, devi sempre tener conto l'insieme in cui la congiunta è maggiore di 0, perché al di fuori di questo insieme la densità sarà nulla, e dunque avrai che la funzione cumulativa è nulla, ovvero vi è assenza di probabilità. In questo caso, le marginali avranno entrambe range uguale a $[0,1]$, al di fuori di quell'intervallo vi è assenza di probabilità.