Calcolo densità congiunte e marginali

[feddy]

Buon pomeriggio, mi pare banale, ma non riesco a trovare una risposta all'ultimo quesito del seguente esericizio:

Si considerino due v.a. discrete $X$ e $Y$ tali per cui la loro densità congiunta sia data da
\( p_{(X,Y)}(n,m)=\begin{cases} \frac{c(l^n \mu^m\nu^{nm})}{n!m!}, \mathbf {l, \mu > 0 , 0 < ν ≤ 1,n,m \geq0}\\ 0, \mathbf{altrimenti} \end{cases} \)

dove $c$ è una costante reale tale che $p$ sia una densità.

i)Si calcolino le densità marginali
ii)Si calcoli $\mathbb{P}(X=n|Y=m)$. E' una legge nota?
iii)Si dimostri che gli eventi ${X = n} e {Y = m}$ sono indipendenti sse $\nu=1$.

Risoluzione:

i)

Sapendo la densità congiunta posso ricavare per esempio la prima marginale tenendo fissa la $n$ e sommando sulle $m$ da $0$ a infinito.

\( p_X{(n)}=\sum_{m=0}^{\infty}p_{(X,Y)}(n,m)=c \frac{l^n}{n!} \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\mu \nu)^m}{m!}=c\frac{l^n}{n!}e^{\mu\nu^n} \)

Analogamente per $Y$ risulta \( p_Y{(m)}=c\frac{\mu^m}{m!}e^{l\nu^m} \)

ii)
$\mathbb{P}(X=n,Y=m)=\frac{ p_{(X,Y)}(n,m)}{p_Y(m)}=e^{-l\nu^m}\frac{(lv^m)^n}{n!}$
che coincide con una distribuzione di Poisson di parametro $lv^m$

iii)
Dovrei riuscire a mostrare che nel caso in cui $\nu=1$ ho $p_{X,Y}(n,m)=p_X(n)*p_Y(m)$, che implica l'indipendenza tra i due eventi.
Riporto i conti: faccio il prodotto delle marginali per $\nu=1$ e ottengo

$p_X(n)*p_Y(m)=c^2 \frac{l^n \mu^m}{n!m!}e^{\mu+l}= \frac{c(l^n \mu^m)}{n!m!}=p_{X,Y}(n,m)$

A sto punto non so come continuare... ho provato a ricontrollare ma le marginali mi sembrano corrette.
A meno che non impongo $c=1/(e^{u+l})$, ma mi sembra un po' strana la cosa.

Grazie per l'attenzione. ciao

[Lo_zio_Tom]

intanto non vedo il calcolo di $c$

"feddy":

dove $c$ è una costante reale tale che $p$ sia una densità.

(in altri termini: $c$ è da determinare con la condizione di normalizzazione)

il resto non l'ho guardato con attenzione ma mi sembra ok (i simboli sono un po' incasinati e si leggono male)

[feddy]

Caspita, lo sapevo che dovevo determiarlo. Solo che visto che non mi era richiesto pensavo di poterlo evitare. Mi spiace sia incasinato, non saprei siceramente come mantenere gli stessi simboli ma renderlo più leggibile.

Ad ogni modo: \( c\sum_{m,n=0}^{\infty} \frac{(l\nu^m)^n \mu^m}{n!m!}=ce^{\mu+l\nu}=1 \) da cui \( c=\frac{1}{e^{\mu+l\nu}} \) .

Ora l'ultimo punto è corretto in quanto l'uguaglianza prima avevo trovato essere verificata proprio per quel valore di $c$.

Grazie tommik