Calcolo Densità

[Valego1]

SAlve a tutti!!! devo calcolare la funzione di distribuzione cumulativa di questa funzione $Y = (3x-1)^2$ e poi la densità

X è un'uniforme $([0,1])$

ho fatto $P(Y<=y) = P((3x-1)^2<=y) = P((-1-sqrt(y))/3<=x<=(-1+sqrt(y))/3)

è solo che non so come andare avanti.. Ho anche disegnato la parabola ma faccio un pò di confusione su quello che bisogna fare!
Dalla teoria so che:

1)$lim_(x->-oo) F(x)=0$

$lim_(x->-oo) F(x)=1$

2)$F(x)<=F(x')$ $ AA x<=x'$

3)$F(z) =lim_(x->z)F(x)$ $AA z in RR$


Grazie anticipatamente!

[cenzo1]

Ciao,

"Valego":$P((-1-sqrt(y))/3<=x<=(-1+sqrt(y))/3)

ricontrolla i passaggi, quel $-1$ a me viene $+1$.

Ti propongo un approccio grafico.
Ho sott'occhio il ramo di parabola. La $X in[0,1]$. Quindi la $Y in [0,4]$. Voglio $P(Y<=k)$.

Distinguo due casi:

1) $k in [0,1]$ (due intersezioni con la parabola: quelle che hai trovato prima)
La probabilità $P(Y<=k)$ è allora $(1+sqrt(k))/3-(1-sqrt(k))/3=2/3sqrt(k)$ (stante la distribuzione uniforme di X)

2) $k in [1,4]$ (una sola intersezione con la parabola)
La probabilità $P(Y<=k)=(1+sqrt(k))/3$ (stante la distribuzione uniforme di X)

Quindi $F_{Y}(y)=\{ (0,if y<0), ( 2/3sqrt(y),if y in [0,1] ) , ( (1+sqrt(y))/3,if y in (1,4] ),(1,if y>1):}$

Edit: corretto errore nella CDF

[Valego1]

ok, ma non riesco a capire come hai trovato che $Y in [0,4]$?

La

$F_{Y}(y)=$

$0$ se $y<0$

$2/3*sqrt(y)$ se $y in [0,1]$

$(1+ sqrt(y))/3$ se $y in [1,4]$

$1$ se $y>4$

per trovare la probabilità l'hai risolto graficamente facendo base per altezza?

[cenzo1]

"Valego":ok, ma non riesco a capire come hai trovato che $Y in [0,4]$?

Se hai disegnato il ramo di parabola, vedi che parte dal punto $(0,1)$, decresce nel vertice $(1/3,0)$ e cresce fino al punto $(1,4)$.
Per $x in [0,1]$, il codominio della y è quindi l'intervallo $[0,4]$

Per le probabilità ho tenuto conto che nella uniforme (0,1) ho $P(a

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[Valego1]

scusa ma continuo a non capire come hai preso quell'intervallo (certamente carenze di analisi) perchè vedo che nell'intervallo $(0,1/3)$ decresce ma non capisco l'altro intervallo.. hai mica usato il teorema dei valori intermedi? Grazie mille!

[cenzo1]

1) Caso $k in [0,1]$

$P(Y<=k)=P( (1-sqrt(k))/3<=X<=(1+sqrt(k))/3)=(1+sqrt(k))/3-(1-sqrt(k))/3=2/3sqrt(k)$
(la penultima uguaglianza segue dalla distribuzione uniforme di X in $[0,1]$)



2) Caso $k in [1,4]$

$P(Y<=k)=P(0<=X<=(1+sqrt(k))/3)=(1+sqrt(k))/3$
(l'ultima uguaglianza segue dalla distribuzione uniforme di X in $[0,1]$)



In pratica, se X cade nel segmento rosso, risulta $Y<=k$.
Data la distribuzione uniforme, la probabilità che la X cade nel segmento rosso è pari alla sua lunghezza.

[Valego1]

chiarissimo! GRAZIE MILLE!