Calcolo delle Probabilità sul lancio di n palline su n buche
Salve, avrei un problema di impostazione su un problema di statistica:
Un esercizio mi chiede di trovare la probabilità nel lanciare 4 palline in 4 buche(eventi indipendenti) e trovare:
A) tutte cadono nella stessa buca
B) tutte cadono in buche differenti
C) due cadono in una buca e due cadono in due buche differenti, ovvio che in questo caso una buca resterà vuota.
Io lo svolgo cosi:
Ho 1/4 di probabiltà di lanciare una pallina in una buca quindi farei (1/4)elevato alla quarta = 1/256.
Tutte in buche differenti mi viene da calcolare 1/4*1/3*1/2*1/1 dato che nella prima pallina ho un 1/4, ma poi nel secondo lancio non ho piu 4 buche se le voglio tutte in buche diverse ma 1/3 e cosi via quindi 1/n!
per le due in una buca dovrei moltiplicare 1/4*1/4*1/3*1/2 in questo modo ho due palline nella stessa buca e due in buche differenti, ma non so il perche non mi fido di questo ragionamento, mi manca qualcosa.
mi potreste gentilmente aiutare?
Grazie a tutti, in anticipo, per l'aiuto.
Un esercizio mi chiede di trovare la probabilità nel lanciare 4 palline in 4 buche(eventi indipendenti) e trovare:
A) tutte cadono nella stessa buca
B) tutte cadono in buche differenti
C) due cadono in una buca e due cadono in due buche differenti, ovvio che in questo caso una buca resterà vuota.
Io lo svolgo cosi:
Ho 1/4 di probabiltà di lanciare una pallina in una buca quindi farei (1/4)elevato alla quarta = 1/256.
Tutte in buche differenti mi viene da calcolare 1/4*1/3*1/2*1/1 dato che nella prima pallina ho un 1/4, ma poi nel secondo lancio non ho piu 4 buche se le voglio tutte in buche diverse ma 1/3 e cosi via quindi 1/n!
per le due in una buca dovrei moltiplicare 1/4*1/4*1/3*1/2 in questo modo ho due palline nella stessa buca e due in buche differenti, ma non so il perche non mi fido di questo ragionamento, mi manca qualcosa.
mi potreste gentilmente aiutare?
Grazie a tutti, in anticipo, per l'aiuto.
Risposte
Forse il metodo alternativo che ti propongo non è didatticamente valido ma lo vedo più semplice:
Indichiamo le 4 palline con p1, p2, p3, p4
e le 4 buche b1, b2, b3, b4
Indichiamo con $T$ le combinazioni totali
Indichiamo con $C_A$, $C_B$ e $C_C$ le combinazioni favorevoli nei casi A, B e C
Troverai che:
$P(A)=C_A/T$
$P(B)=C_B/T$
$P(C)=C_C/T$
I casi totali sono $T=4^4=256$ Infatti ogni pallina può finire indipendentemente in ogni buca.
I casi favorevoli di A sono 4, infatti tutte le palline possono finire in b1, b2, b3 o b4,
quindi $C_A = 4$, pertanto $P(A) = C_A / T=4/256=1/64$
Prova a fare lo stesso ragionamento per i casi B e C.
Indichiamo le 4 palline con p1, p2, p3, p4
e le 4 buche b1, b2, b3, b4
Indichiamo con $T$ le combinazioni totali
Indichiamo con $C_A$, $C_B$ e $C_C$ le combinazioni favorevoli nei casi A, B e C
Troverai che:
$P(A)=C_A/T$
$P(B)=C_B/T$
$P(C)=C_C/T$
I casi totali sono $T=4^4=256$ Infatti ogni pallina può finire indipendentemente in ogni buca.
I casi favorevoli di A sono 4, infatti tutte le palline possono finire in b1, b2, b3 o b4,
quindi $C_A = 4$, pertanto $P(A) = C_A / T=4/256=1/64$
Prova a fare lo stesso ragionamento per i casi B e C.
La vorrei ringraziare per la risposta data:
Seguendo il suo ragionamento nell'esercizio B io ho 4!=24 modi di poter sistemare le 4 palline senza ripetizione. Dunque mi verebbe, se fosse giusto il mio ragionamento, 24/256 modi di far cadare tutte e 4 le palline in buche differenti.
Per l'esercizio C in questo caso mi trovo bloccato: dovrei trovare i casi favoreveli che 2 palline su 4 cadono in una sola buca e potrei usare il calcolo combinatorio per selezionale due palline su 4(N n)=6 moliplicate per le 4 buche a cui possono cadere=24 (quindi 24 modi in cui due palline su 4 possono cadare in una sola buca tra 4)per poi moltiplicare le restanti due palline che si andrebbero a mettere su le altre tre buche restanti senza ripetizione quindi 3*2 = 144/256
Ma sinceramente non sono affatto sicuro.
Ancora grazie per la risposta e la pazienza.
Seguendo il suo ragionamento nell'esercizio B io ho 4!=24 modi di poter sistemare le 4 palline senza ripetizione. Dunque mi verebbe, se fosse giusto il mio ragionamento, 24/256 modi di far cadare tutte e 4 le palline in buche differenti.
Per l'esercizio C in questo caso mi trovo bloccato: dovrei trovare i casi favoreveli che 2 palline su 4 cadono in una sola buca e potrei usare il calcolo combinatorio per selezionale due palline su 4(N n)=6 moliplicate per le 4 buche a cui possono cadere=24 (quindi 24 modi in cui due palline su 4 possono cadare in una sola buca tra 4)per poi moltiplicare le restanti due palline che si andrebbero a mettere su le altre tre buche restanti senza ripetizione quindi 3*2 = 144/256
Ma sinceramente non sono affatto sicuro.
Ancora grazie per la risposta e la pazienza.
Mi trovo con i tuoi calcoli e ragionamenti.... 
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