Calcolo delle probabilità con la funzione di ripartizione
salve,
ho una certa funzione con il parametro k
$ f(x) = { ( k(x+1) 0<=x<=1 ),( 2k(2-x) 1
a) determinare il valore di k affinchè rappresenti densità di probabilità
$ int_(0)^(1) k(x+1) dx + int_(1)^(2) 2k(2-x) dx = 1 $
k=2/5
b) Calcolo della MEDIA
$ int_(-)^(+) x*f(x) dx = int_(0)^(1) 2/5x*(x+1) dx + int_(1)^(2) 4/5x(2-x) dx =13/15 $
c) Calcolo della MEDIANA
A questo punto io vorrei utilizzare la relazione con la FUNZIONE DI RIPARTIZIONE . Ma mi blocco con i calcoli.
Io so che la mediana vale 0.5, quindi devo impostare l'equazione e porla uguale a 0.5. Ma come devo fare per impostarla? qualcuno può mostrarmelo. Grazie mille!
ho una certa funzione con il parametro k
$ f(x) = { ( k(x+1) 0<=x<=1 ),( 2k(2-x) 1
a) determinare il valore di k affinchè rappresenti densità di probabilità
$ int_(0)^(1) k(x+1) dx + int_(1)^(2) 2k(2-x) dx = 1 $
k=2/5
b) Calcolo della MEDIA
$ int_(-)^(+) x*f(x) dx = int_(0)^(1) 2/5x*(x+1) dx + int_(1)^(2) 4/5x(2-x) dx =13/15 $
c) Calcolo della MEDIANA
A questo punto io vorrei utilizzare la relazione con la FUNZIONE DI RIPARTIZIONE . Ma mi blocco con i calcoli.
Io so che la mediana vale 0.5, quindi devo impostare l'equazione e porla uguale a 0.5. Ma come devo fare per impostarla? qualcuno può mostrarmelo. Grazie mille!
Risposte
beh è molto semplice
come sai la FdR è la funzione integrale della densità: $F_(X)=int_(-oo)^(x)f(t)dt$
ora, dato che qui la densità è divisa in due dovrai dividere in due anche la FdR
però se fai i conti....$int_(0)^(1)f(x)dx=3/5>1/2$
Quindi significa che l'ascissa $x=F^(-1)(1/2)$ è compresa nell'intervallo $[0;1]$
quindi per il calcolo della mediana basta fare
$int_(0)^(x)2/5(t+1)dt=1/2$
come sai la FdR è la funzione integrale della densità: $F_(X)=int_(-oo)^(x)f(t)dt$
ora, dato che qui la densità è divisa in due dovrai dividere in due anche la FdR
però se fai i conti....$int_(0)^(1)f(x)dx=3/5>1/2$
Quindi significa che l'ascissa $x=F^(-1)(1/2)$ è compresa nell'intervallo $[0;1]$
quindi per il calcolo della mediana basta fare
$int_(0)^(x)2/5(t+1)dt=1/2$
Ho fatto così, quindi significa che ho capito. Alla fine mi escono 2 valori, uno accettabile e l'altro no.
Poi la traccia mi chiede Pr(X<1)
In questo caso che integrale devo impostare?
$ int_(0)^(x) 2/5(t+1) dt = 1 $
Giusto così?
Poi la traccia mi chiede Pr(X<1)
In questo caso che integrale devo impostare?
$ int_(0)^(x) 2/5(t+1) dt = 1 $
Giusto così?
Quindi la media si trova?
In più mi chiede :
Pr(1/2 < X < 2)
Pr (1 < X < 2)
In questo caso come devo ragionare avendo 2 funzioni ?
Pr(1/2 < X < 2)
Pr (1 < X < 2)
In questo caso come devo ragionare avendo 2 funzioni ?
"namec5":
Ho fatto così, quindi significa che ho capito. Alla fine mi escono 2 valori, uno accettabile e l'altro no.
Poi la traccia mi chiede Pr(X<1)
In questo caso che integrale devo impostare?
$ int_(0)^(x) 2/5(t+1) dt = 1 $
Giusto così?
$ int_(0)^(x) 2/5(t+1) dt = 1/2 $
La FdR viene così:
$F_(X)(x)={{: ( 0 , ;x<0 ),( x^2/5+2/5x , ;0<=x<1 ),( -2/5x^2+8/5x-3/5 , ;1<=x<2 ),( 1 , ;x>=2 ) :}$
Mi trovo -6/5 e no -3/5
"namec5":
Mi trovo -6/5 e no -3/5
devi sommare anche i $3/5$ che vale la F nel primo intervallo
Ahhhh ho capito!
ma poi i 3/5 che vengono da sopra non li inserisco cioè non li scrivo, li vado solo a sommare a quello di sotto?
ma poi i 3/5 che vengono da sopra non li inserisco cioè non li scrivo, li vado solo a sommare a quello di sotto?
nel secondo intervallo la FdR non parte da zero....ma vale quanto vale in tutto l'intervallo precedente...ovvero $3/5$
$-6/5+3/5=-3/5$
così ti torna
poi controlli le proprietà della F
ovvero che
$F(0)=0$
$F(2)=1$
e, verosimilmente, anche se non è una proprietà, che sia continua, ovvero che $F(1)$ sia uguale in entrambe le espressioni
$-6/5+3/5=-3/5$
così ti torna
poi controlli le proprietà della F
ovvero che
$F(0)=0$
$F(2)=1$
e, verosimilmente, anche se non è una proprietà, che sia continua, ovvero che $F(1)$ sia uguale in entrambe le espressioni
Quindi
$ Pr (X<1) = F(1) $
Sostituisco 1 nell'espressione della FdR :
$ x^2/5+2/5x $
ottengo
$ 3/5 $
$ Pr (1/2
Io ho fatto :
$ -2/5x^2+8/5x -3/5 $ per calcolare F(2)
$ x^2/5 +2/5x $ per calcolare F(1/2)
Va bene così?
$ Pr (X<1) = F(1) $
Sostituisco 1 nell'espressione della FdR :
$ x^2/5+2/5x $
ottengo
$ 3/5 $
$ Pr (1/2
Io ho fatto :
$ -2/5x^2+8/5x -3/5 $ per calcolare F(2)
$ x^2/5 +2/5x $ per calcolare F(1/2)
Va bene così?
Sì giusto.
Tra l'altro lo sai già che $ F (2)=1$
Tra l'altro lo sai già che $ F (2)=1$
Va bene. Ti ringrazio mille.
Solo un altro dubbio : quando calcolo la funzione di ripartizione integrando la funzione di densità quel valore di c, che sarebbe la costante data dall'integrazione, la devo sempre calcolare oppure ci sono casi in cui non devo?
Solo un altro dubbio : quando calcolo la funzione di ripartizione integrando la funzione di densità quel valore di c, che sarebbe la costante data dall'integrazione, la devo sempre calcolare oppure ci sono casi in cui non devo?
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