Calcolo della varianza di una variabile aleatoria trasformata senza calcolarne la pdf
\( \displaystyle X ~ N(0,1) \)Ciao ancora, avrei bisogno di un po' di chiarezza su un altro argomento.
Mi sono spesso trovato in esercizi in cui mi viene chiesto di calcolare media e varianza di una variabile aleatoria trasformata.
Del tipo (non richiedo la soluzione specifica di questo esercizio, è solo a titolo di esempio):
Data la Variabile Aleatoria Gaussiana \(\displaystyle X - N(0,1) \) calcolare media e varianza di \(\displaystyle Y=|X| \)
Per il calcolo della varianza non ho problemi, il calcolo del relativo integrale richiede che io conosca la funzione di trasformazione ( \(\displaystyle Y=|X| \) nel caso dell'esempio) e della pdf della variabile aleatoria (che è solitamente nota).
Il problema sta nel calcolo della varianza: sia che io voglia calcolarla in maniera diretta con l'integrale indefinito della varianza oppure voglia calcolare il valor quadratico medio (per poi sottrargli il quadrato della media e ottenere quindi la varianza) avrei bisogno (almeno CREDO) della pdf della variabile aleatoria trasformata.
Benché io sappia che è possibile, effettivamente, calcolare la pdf di una variabile \(\displaystyle Y=g(X) \), questo calcolo non mi risulta sempre immediato e ho l'impressione che sia possibile trovare la varianza di Y senza doverne calcolare la pdf.
Il problema è che proprio non riesco a capire come fare.
Qualsiasi aiuto/input per chiarirmi le idee sarà ben accetto.
Grazie in anticipo!
Mi sono spesso trovato in esercizi in cui mi viene chiesto di calcolare media e varianza di una variabile aleatoria trasformata.
Del tipo (non richiedo la soluzione specifica di questo esercizio, è solo a titolo di esempio):
Data la Variabile Aleatoria Gaussiana \(\displaystyle X - N(0,1) \) calcolare media e varianza di \(\displaystyle Y=|X| \)
Per il calcolo della varianza non ho problemi, il calcolo del relativo integrale richiede che io conosca la funzione di trasformazione ( \(\displaystyle Y=|X| \) nel caso dell'esempio) e della pdf della variabile aleatoria (che è solitamente nota).
Il problema sta nel calcolo della varianza: sia che io voglia calcolarla in maniera diretta con l'integrale indefinito della varianza oppure voglia calcolare il valor quadratico medio (per poi sottrargli il quadrato della media e ottenere quindi la varianza) avrei bisogno (almeno CREDO) della pdf della variabile aleatoria trasformata.
Benché io sappia che è possibile, effettivamente, calcolare la pdf di una variabile \(\displaystyle Y=g(X) \), questo calcolo non mi risulta sempre immediato e ho l'impressione che sia possibile trovare la varianza di Y senza doverne calcolare la pdf.
Il problema è che proprio non riesco a capire come fare.
Qualsiasi aiuto/input per chiarirmi le idee sarà ben accetto.
Grazie in anticipo!
Risposte
"Fabrizio1992":
Il problema sta nel calcolo della varianza: sia che io voglia calcolarla in maniera diretta con l'integrale indefinito della varianza oppure voglia calcolare il valor quadratico medio (per poi sottrargli il quadrato della media e ottenere quindi la varianza) avrei bisogno (almeno CREDO) della pdf della variabile aleatoria trasformata.
no, non è detto. Ci sono due vie per calcolare il valore di sintesi (media o varianza, poco cambia)
Supponiamo di avere $y=g(x)$ e di voler calcolare
$E(y)=int_(-oo)^(+oo)yf(y)dy=int_(-oo)^(+oo)g(x)f(x)dx$
quindi come vedi....nel primo caso si utilizza la pdf della variabile trasformata, nel secondo caso no.
(spero di aver ben interpretato il tuo problema)
Perfettamente interpretato 
di nuovo, grazie!
di nuovo, grazie!
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