Calcolo della varianza
Questo esercizio riguarda la funzione generatrice di momenti e la varianza.
"Sia X~esp(a),calcolare la varianza di X"
Io so per certo che va prima calcolata la m.g.f e poi fare la derivata prima e poi la derivata seconda per il calcolo della varianza,vero?
Ma come si procede dato che è una funzione esponenziale,potreste illustrarmi i passaggi?
Grazie
"Sia X~esp(a),calcolare la varianza di X"
Io so per certo che va prima calcolata la m.g.f e poi fare la derivata prima e poi la derivata seconda per il calcolo della varianza,vero?
Ma come si procede dato che è una funzione esponenziale,potreste illustrarmi i passaggi?
Grazie
Risposte
La varianza di una v.c. X è uguale a $ Var[X]=E[(X-E[X])^2]=E[X^2]-E[X]^2 $. Ora , sappiamo che il valore atteso E[X] di una variabile casuale esponenziale di parametro $a$ è $1/a$, quindi $E[X]^2 = (1/a)^2 = 1/a^2 $; ci rimane da trovare $ E[X^2] $. Riprendiamo la funzione di probabilità di una esponenziale di parametro a: $ a e ^(-ax) $.
Qui viene il bello: Per trovare $ E[X^2] $ dobbiamo calcolare l'integrale definito da 0 a $ +oo $(esponenziale positiva è definita per valore di x maggiori di 0) di $ x^2 f(x)$ con $ f(x)= a e^(-ax) $ . Avremo quindi, $ int_(0)^(+oo) x^(2) a e^-(a x) $ Per risolverlo, non sto qui a scrivere tutti passaggi (se ti interessa risoluzione dell'integrale completa manda un pm)
utilizza il metodo di integrazione per parti. Giungerai al risultato : $ 2/a^2 $. Ora, per la definizione di varianza fornita in precedenza abbiamo che:
Var[X]= $ 2/a^2 - (1/a)^2 $ quindi $ 1/a^2 $.
Spero sia tutto chiaro, se ti serve aiuto, chiedi pure
Saluti
Qui viene il bello: Per trovare $ E[X^2] $ dobbiamo calcolare l'integrale definito da 0 a $ +oo $(esponenziale positiva è definita per valore di x maggiori di 0) di $ x^2 f(x)$ con $ f(x)= a e^(-ax) $ . Avremo quindi, $ int_(0)^(+oo) x^(2) a e^-(a x) $ Per risolverlo, non sto qui a scrivere tutti passaggi (se ti interessa risoluzione dell'integrale completa manda un pm)
utilizza il metodo di integrazione per parti. Giungerai al risultato : $ 2/a^2 $. Ora, per la definizione di varianza fornita in precedenza abbiamo che:
Var[X]= $ 2/a^2 - (1/a)^2 $ quindi $ 1/a^2 $.
Spero sia tutto chiaro, se ti serve aiuto, chiedi pure
Saluti
Solo per completezza, ti ricordo che il valore atteso di una var casuale CONTINUA è dato dall'integrale definito improprio da -oo a +oo di x f(x) con f(x) funzione di densità di probabilità.
$ E[X] = int_(0)^(+oo) x f(x) = int_(0)^(+oo) x a e^-(a x) $ f(x) funzione di densità di probabilità di una esponenziale di parametro a.
Di solito questi tipi di integrali per distribuzioni "strane" vengono calcolati attraverso simulazioni in quanto di risoluzione estremamente complicata (metodo di montecarlo). Per i corsi di statistica base usare l'integrazione per parti di solito è più che sufficiente.
$ E[X] = int_(0)^(+oo) x f(x) = int_(0)^(+oo) x a e^-(a x) $ f(x) funzione di densità di probabilità di una esponenziale di parametro a.
Di solito questi tipi di integrali per distribuzioni "strane" vengono calcolati attraverso simulazioni in quanto di risoluzione estremamente complicata (metodo di montecarlo). Per i corsi di statistica base usare l'integrazione per parti di solito è più che sufficiente.
Grazie precisissimo come sempre
Quindi la cosa più pratica da fare in questi casi è l'utilizzo dell'integrazione per parti....devo giusto rivedermela.
Quindi la cosa più pratica da fare in questi casi è l'utilizzo dell'integrazione per parti....devo giusto rivedermela.
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