Calcolo della probabilità di v.a. Gaussiane.

[Batted]

Ho una variabile aleatoria X Gaussiana di media 1 e varianza 9, cioè X - N(1,9). Devo calcolare la probabilità che X>3.
Come primo passo normalizzo, quindi:
$ (3-1)/3 = 0,667 $
Ora utilizzando la tabella dovrei trovarmi la probabilità, ma questa tabella vale per le probabilità di X

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Risposte

hamming_burst

28 ago 2012, 19:47

ok. ti riduci ad una trasformazione lineare di $X$.
Sia \(Y \sim \mathcal{N}(0,1)\), allora $X = \sqrt(9)Y + 1$

$P(X>3) = P(\sqrt(9)Y + 1 > 3) = P(Y > (3 - 1)/3) = P(Y > 0.67)$

Ora basta che utilizzi semplicemente il complementare $P(Y > 0.67) = 1 - P(X<=0.67) = 1 - \phi(0.67)$, e risolvi con la tabella.

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Batted

29 ago 2012, 13:32

Grazie, ho un altro quesito:
Ho 3 v.a. gaussiane:
Xa - N(2,1)
Xb - N(1,19)
Xc - N(1,1)
indipendenti tra di loro.
Si definisce successivamente Y = Xa + Xb -2Xc
Devo:
Riportare in modo esplicito la densità di probabilità;
Calcolare un intervallo I simmetrico attorno alla media di Y tale che la probabilità dell'evento Y appartenente a I sia 0.8.
Questo tipo di esercizio non ci è mai stato presentato a lezione, sai d'essermi d'aiuto?

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Batted

29 ago 2012, 15:35

Come al solito salti una riga del libro e salti la definizione fondamentale, ho capito come trasformare linearmente v.a. gaussiane, ma non so cosa significa "riportare in modo esplicito", significa riportare la formula della densità con media e varianza ricalcolata? sul secondo punto non so ancora come fare.

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hamming_burst

29 ago 2012, 18:57

"Batted":Grazie, ho un altro quesito:
Ho 3 v.a. gaussiane:
Xa - N(2,1)
Xb - N(1,19)
Xc - N(1,1)
indipendenti tra di loro.
Si definisce successivamente Y = Xa + Xb -2Xc
Devo:
Riportare in modo esplicito la densità di probabilità;

la somma di v.a normali indipendenti mantiene la normalità e l'indipendenza. Perciò ti calcoli semplicemente la nuova media e varianza con le solite regolette. Con esplicitare si intende che devi mostrare la pdf.

Calcolare un intervallo I simmetrico attorno alla media di Y tale che la probabilità dell'evento Y appartenente a I sia 0.8. Questo tipo di esercizio non ci è mai stato presentato a lezione, sai d'essermi d'aiuto?

In questo esercizio ti si chiede di calcolare l'intervallo di fiducia per $y$. Visto che la legge la conosci ed è la normale ti basta calcolare semplicemente i quantili di ordine $0.2/2$ (passi attraverso le tabelle della normale standard ed utilizzi la trasformazione lineare come sopra)
In soldoni quello che vuoi calcolarti è $P(|Y| <= q_{0.2/2}) = 1-0.2 = 0.8$.

EDIT:
corretto errore.

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Batted

30 ago 2012, 16:02

Grazie, ma perché i quantili di ordine 0.2 e non 0,8?

Poi ho un'altra domanda ancora. Sia d il diametro di alcuni tubi prodotti da una fabbrica e d è una v.a. gaussiana di media 60 cm. Si sa anche che il 10% dei tubi ha diametro superiore a 62 cm. Devo sempre esplicitare la densità di d.

Presumo quindi che dalla seconda informazione devo trovarmi la varianza, ma non so come. Pensavo di scrivermi la funzione di ripartizione e normalizzarla, e dato che conosco la probabilità che i tubi superino i 62 cm potevo trovarmi qualcosa, ma se non si conosce a priori la varianza non so come fare. Tu come faresti?

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hamming_burst

30 ago 2012, 21:05

"Batted":Grazie, ma perché i quantili di ordine 0.2 e non 0,8?

Bhe mi sembra poco sensato utilizzare 0.80. Devi ricordarti che l'intervallo deve esser centrato nella media, perciò non puoi usare l'ordine del quantile uguale alla prob. dell'appartenenza (se hai dubbi guarda un semplice grafico della normale e la definizione di quantile, devi ricordarti la doppia coda). Comunque è $0.2/2 = 0.10$ mi era sfuggita la divisione.

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[hamming_burst]

ok. ti riduci ad una trasformazione lineare di $X$.
Sia \(Y \sim \mathcal{N}(0,1)\), allora $X = \sqrt(9)Y + 1$

$P(X>3) = P(\sqrt(9)Y + 1 > 3) = P(Y > (3 - 1)/3) = P(Y > 0.67)$

Ora basta che utilizzi semplicemente il complementare $P(Y > 0.67) = 1 - P(X<=0.67) = 1 - \phi(0.67)$, e risolvi con la tabella.

[Batted]

Grazie, ho un altro quesito:
Ho 3 v.a. gaussiane:
Xa - N(2,1)
Xb - N(1,19)
Xc - N(1,1)
indipendenti tra di loro.
Si definisce successivamente Y = Xa + Xb -2Xc
Devo:
Riportare in modo esplicito la densità di probabilità;
Calcolare un intervallo I simmetrico attorno alla media di Y tale che la probabilità dell'evento Y appartenente a I sia 0.8.
Questo tipo di esercizio non ci è mai stato presentato a lezione, sai d'essermi d'aiuto?

[Batted]

Come al solito salti una riga del libro e salti la definizione fondamentale, ho capito come trasformare linearmente v.a. gaussiane, ma non so cosa significa "riportare in modo esplicito", significa riportare la formula della densità con media e varianza ricalcolata? sul secondo punto non so ancora come fare.

[hamming_burst]

"Batted":Grazie, ho un altro quesito:
Ho 3 v.a. gaussiane:
Xa - N(2,1)
Xb - N(1,19)
Xc - N(1,1)
indipendenti tra di loro.
Si definisce successivamente Y = Xa + Xb -2Xc
Devo:
Riportare in modo esplicito la densità di probabilità;

la somma di v.a normali indipendenti mantiene la normalità e l'indipendenza. Perciò ti calcoli semplicemente la nuova media e varianza con le solite regolette. Con esplicitare si intende che devi mostrare la pdf.

Calcolare un intervallo I simmetrico attorno alla media di Y tale che la probabilità dell'evento Y appartenente a I sia 0.8. Questo tipo di esercizio non ci è mai stato presentato a lezione, sai d'essermi d'aiuto?

In questo esercizio ti si chiede di calcolare l'intervallo di fiducia per $y$. Visto che la legge la conosci ed è la normale ti basta calcolare semplicemente i quantili di ordine $0.2/2$ (passi attraverso le tabelle della normale standard ed utilizzi la trasformazione lineare come sopra)
In soldoni quello che vuoi calcolarti è $P(|Y| <= q_{0.2/2}) = 1-0.2 = 0.8$.

EDIT:
corretto errore.

[Batted]

Grazie, ma perché i quantili di ordine 0.2 e non 0,8?

Poi ho un'altra domanda ancora. Sia d il diametro di alcuni tubi prodotti da una fabbrica e d è una v.a. gaussiana di media 60 cm. Si sa anche che il 10% dei tubi ha diametro superiore a 62 cm. Devo sempre esplicitare la densità di d.

Presumo quindi che dalla seconda informazione devo trovarmi la varianza, ma non so come. Pensavo di scrivermi la funzione di ripartizione e normalizzarla, e dato che conosco la probabilità che i tubi superino i 62 cm potevo trovarmi qualcosa, ma se non si conosce a priori la varianza non so come fare. Tu come faresti?

[hamming_burst]

"Batted":Grazie, ma perché i quantili di ordine 0.2 e non 0,8?

Bhe mi sembra poco sensato utilizzare 0.80. Devi ricordarti che l'intervallo deve esser centrato nella media, perciò non puoi usare l'ordine del quantile uguale alla prob. dell'appartenenza (se hai dubbi guarda un semplice grafico della normale e la definizione di quantile, devi ricordarti la doppia coda). Comunque è $0.2/2 = 0.10$ mi era sfuggita la divisione.