Calcolo della mediana v.a. continua

[bartofra]

Ciao a tutti. Devo calcolare la mediana della seguente funzione di ripartizione.


$F(t) = $ $\{(0 ; if t<= -3 ),(3/4 + (1/2)*t +(1/12)*t^2 if -3 < t < 0),(3/4 + 1/4 * (1-exp(-2t)) if t>=0):}$


Io farei in questo modo:

Conosco la funzione densità:
$F(t) = $ $\{(0 ; if x<= -3 ),( 1/2 +(1/6)*x if -3 < t < 0),(1/2 * (1-exp(-2x)) if t>=0):}$


Quindi calcolo la mediana (secondo quartile)
$\int_{-3}^{x} 1/2 +(1/6)*x dx$ + $\int_{0}^{x} 1-exp(-2x) dx$ = 0.5


alla fine devo risolvere la seguente equazione:

$1/12 * x^2 + 1/2 *x + 1/4 = 1/4 *exp(-2x) $

Facendo il grafico trovo un valore compreso tre $(-0.6 ; -0.4)$ devo quindi approssimare.

Il testo però riporta un valore preciso: $ sqrt(6) -3 $

Penso quindi di sbagliare qualcosa. Forse nell'impostazione .
Qualcuno puo aiutarmi ? Dopodomani ho l'esame.

Grazie

[hamming_burst]

Ciao,
premetto che non sono certissimo che il mio procedimento sia standard, ma penso di sì.

perchè complicarsi la vita passando per la pdf? Hai la cdf, basta sostituire. Ma è uguale.

Sia $T$ la v.a. dobbiamo trovare il valore $m$ dove $P(T <= m) = 1/2$

"raimond":
Io farei in questo modo:

Conosco la funzione densità:
$F(t) = $ $\{(0 ; if x<= -3 ),( 1/2 +(1/6)*x if -3 < t < 0),(1/2 * (1-exp(-2x)) if t>=0):}$

due cose:
$F(t)$ sta per la cdf, utilizza $f(t)$ per denotare la pdf.
$1/2 * (1-exp(-2x))$ non è la derivazione corretta.

Quindi calcolo la mediana (secondo quartile)
$\int_{-3}^{x} 1/2 +(1/6)*x dx$ + $\int_{0}^{x} 1-exp(-2x) dx$ = 0.5

Te devi trovare il valore che coinvolge il 50% della distribuzione, in questo modo fai una strana normalizzazione che non ha molto senso. Mi immagino che tale operazione distribuisca diciamo uniformemente il valore mediano da trovare in più punti...

Passando per la cdf (o pdf integrando), puoi vedere sostituendo i limiti dell'intervallo dove l'area (sotto la curva) è nell'intorno di 1/2. Evito ogni calcolo, tanto sai bene come farlo:

$P(-3 $P(T>=0) = 1/4$

Quindi noi dobbiamo calcolare la mediana nell'intervallo di esistenza $-3

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[bartofra]

Grazie, in effeti ci avevo pensato

ma non mi è chiaro come faccio a sapere qual'è il valore che coinvolge il 50% della distribuzione.

$F(0) - F(-3)$ a me viene esattamente $1/2$

[hamming_burst]

"raimond":Grazie, in effeti ci avevo pensato

ma non mi è chiaro come faccio a sapere qual'è il valore che coinvolge il 50% della distribuzione.
$F(0) - F(-3)$ a me viene esattamente $1/2$

avrai sbagliato qualche calcolo.

$P(-3 < T < 0) = F(0) - F(-3) = 3/4 + (1/2)*t +(1/12)*t^2|_(-3)^0 = 3/4 - 0 = 0.75$
$P(T >= 0) = F(+oo) - F(0) = (lim_{t->+oo} 3/4 + 1/4*(1-e^(-2t))) - (3/4 + 1/4*(1-e^(-2*0))) = 1 - 3/4 = 0.25$

Da questo sai che il 75% della distribuzione è definita nell'intervallo $(-3,0)$ ed il 25% in $[0,+oo)$.

La mediana la puoi calcolare utilizzando il 50% destro o sinistro: $P(T >= m)$ oppure $P(T <= m)$ è uguale.
Quindi:

$P(-3 < T < m) = F(m) - F(-3) = 1/2$

Se vuoi passando per la pdf che diviene più esplicito:

$\int_(-3)^m 1/2+(1/6)*x dx = 1/2$

che ritorna due soluzione (utilizzando wolfram): $sqrt(6) - 3$ e $-3 - sqrt(6)$ la seconda è fuori intervallo di esistenza, quindi l'unica è $m=sqrt(6) - 3$ ed è quello che cercavamo.

oppure la variante destra $P(T >= m)$, sommi il $0.25$ dell'intervallo $[0,+oo)$ e cerchi la mediana nel restante intevallo di esistenza:

$\int_(m)^0 1/2+(1/6)*x dx + \int_(0)^(+oo) 1/2e^(-2x) dx = 1/2$