Calcolo della funzione di ripartizione e di densità
Salve ragazzi, sto cercando di risolvere il seguente esercizio in vista dell'esame di probabilità, tuttavia, sto incontrando delle difficoltà non tanto nel calcolo della funzione di ripartizione di X quanto più in quella di Y e nella sua relativa funzione di densità.
Ho calcolato, infatti, la funzione di ripartizione di Y e da quest'ultima mi sono ricavato la funzione di densità.
Andando ad integrare per verificare se lo è veramente, tuttavia, il risultato mi esce negativo, il che è assurdo in quanto dovrebbe venirmi 1.
Dove sto sbagliando, quindi?
ESERCIZIO
Sia X un numero aleatorio con funzione di densità
$$f_X(x) =
\left\{
\begin{array}{lr}
1/4 & -1\leq x \leq0 \\[4pt]
2kx & 0 < x < 1 \\[4pt]
0 & altrove \\[4pt]
\end{array}
\right.
$$
a)Si dica per quali valori del parametro $k$ la $f$ è una funzione di densità. Si calcoli poi la relativa funzione di ripartizione.
b)Dato il numero aleatorio $Y = -X-1$, si calcoli la sua funzione di ripartizione e di densità.
SVOLGIMENTO A
Si deve avere:
$$\int_{-1}^{0} \frac{1}{4} dx +\int_{0}^{1} 2kx dx = 1 \iff \Big[\frac{1}{4}x\Big]_{-1}^{0} + \Big[kx^2\Big]_{0}^{1} = 1 \iff \frac{1}{4} + k = 1 \iff k = \frac{3}{4}$$
La funzione di densità diverrà di conseguenza:
$$f_X(x) =
\left\{
\begin{array}{lr}
1/4 & -1\leq x \leq0 \\[4pt]
\frac{3}{2}x & 0 < x < 1 \\[4pt]
0 & altrove \\[4pt]
\end{array}
\right.
$$
Funzione di ripartizione:
$$F_X(x) =
\left\{
\begin{array}{lr}
0 & x \le -1 \\[4pt]
\int_{-1}^{x} \frac{1}{4} dt & -1 \leq x \leq 0\\[4pt]
\int_{-1}^{0} \frac{1}{4} dt + \int_{0}^{x} \frac{3}{2}t dt & 0 < x <1 \\[4pt]
1 & x \geq 1 \\[4pt]
\end{array}
\right.
$$
SVOLGIMENTO B
Da $Y = -X-1$ si ha che $X = -1-Y$, dunque essendo $Y$ una funzione monotona decrescente, si avrà che
$$ F_Y(y) = 1-
\left\{
\begin{array}{lr}
0 & y > 0 \\[4pt]
\int_{-1}^{-1-y} \frac{1}{4} dt & -1 \leq y \leq 0\\[4pt]
\int_{-1}^{0} \frac{1}{4} dt + \int_{-2}^{-y-1} \frac{3}{2}t dt & -2 < y < -1 \\[4pt]
1 & y \leq -2 \\[4pt]
\end{array}
\right.
$$
Segue che:
$$ F_Y(y) =
\left\{
\begin{array}{lr}
0 & y \leq -2 \\[4pt]
1 - (\int_{-1}^{0} \frac{1}{4} dt + \int_{-2}^{-y-1} \frac{3}{2}t dt) & -2 < y < -1 \\[4pt]
1 - (\int_{-1}^{-1-y} \frac{1}{4} dt) & -1 \leq y \leq 0\\[4pt]
1 & y > 0 \\[4pt]
\end{array}
\right.
$$
Lo svolgimento produrrà la seguente funzione di ripartizione:
$$ F_Y(y) =
\left\{
\begin{array}{lr}
0 & y \leq -2 \\[4pt]
\frac{3}{4}y^2 & -2 \leq y \leq 1\\[4pt]
\frac{y}{4}+1 & -1 \leq y \leq 0\\[4pt]
1 & y > 0 \\[4pt]
\end{array}
\right.
$$
Poichè $F_Y'(y) = f_Y(y)$, si avrà la seguente funzione di densità:
$$f_Y(y) =
\left\{
\begin{array}{lr}
\frac{3}{2}y & -2 < y < -1 \\[4pt]
1/4 & -1\leq y \leq0 \\[4pt]
0 & altrove \\[4pt]
\end{array}
\right.
$$
Effettuando il calcolo dell'integrale per verificare se è una funzione di densità si ha un risultato negativo.
Nella fattispecie:
$$\int_{-1}^{0} \frac{1}{4} dy +\int_{-2}^{-1} \frac{3}{2}y dy = -2 $$
Ho calcolato, infatti, la funzione di ripartizione di Y e da quest'ultima mi sono ricavato la funzione di densità.
Andando ad integrare per verificare se lo è veramente, tuttavia, il risultato mi esce negativo, il che è assurdo in quanto dovrebbe venirmi 1.
Dove sto sbagliando, quindi?
ESERCIZIO
Sia X un numero aleatorio con funzione di densità
$$f_X(x) =
\left\{
\begin{array}{lr}
1/4 & -1\leq x \leq0 \\[4pt]
2kx & 0 < x < 1 \\[4pt]
0 & altrove \\[4pt]
\end{array}
\right.
$$
a)Si dica per quali valori del parametro $k$ la $f$ è una funzione di densità. Si calcoli poi la relativa funzione di ripartizione.
b)Dato il numero aleatorio $Y = -X-1$, si calcoli la sua funzione di ripartizione e di densità.
SVOLGIMENTO A
Si deve avere:
$$\int_{-1}^{0} \frac{1}{4} dx +\int_{0}^{1} 2kx dx = 1 \iff \Big[\frac{1}{4}x\Big]_{-1}^{0} + \Big[kx^2\Big]_{0}^{1} = 1 \iff \frac{1}{4} + k = 1 \iff k = \frac{3}{4}$$
La funzione di densità diverrà di conseguenza:
$$f_X(x) =
\left\{
\begin{array}{lr}
1/4 & -1\leq x \leq0 \\[4pt]
\frac{3}{2}x & 0 < x < 1 \\[4pt]
0 & altrove \\[4pt]
\end{array}
\right.
$$
Funzione di ripartizione:
$$F_X(x) =
\left\{
\begin{array}{lr}
0 & x \le -1 \\[4pt]
\int_{-1}^{x} \frac{1}{4} dt & -1 \leq x \leq 0\\[4pt]
\int_{-1}^{0} \frac{1}{4} dt + \int_{0}^{x} \frac{3}{2}t dt & 0 < x <1 \\[4pt]
1 & x \geq 1 \\[4pt]
\end{array}
\right.
$$
SVOLGIMENTO B
Da $Y = -X-1$ si ha che $X = -1-Y$, dunque essendo $Y$ una funzione monotona decrescente, si avrà che
$$ F_Y(y) = 1-
\left\{
\begin{array}{lr}
0 & y > 0 \\[4pt]
\int_{-1}^{-1-y} \frac{1}{4} dt & -1 \leq y \leq 0\\[4pt]
\int_{-1}^{0} \frac{1}{4} dt + \int_{-2}^{-y-1} \frac{3}{2}t dt & -2 < y < -1 \\[4pt]
1 & y \leq -2 \\[4pt]
\end{array}
\right.
$$
Segue che:
$$ F_Y(y) =
\left\{
\begin{array}{lr}
0 & y \leq -2 \\[4pt]
1 - (\int_{-1}^{0} \frac{1}{4} dt + \int_{-2}^{-y-1} \frac{3}{2}t dt) & -2 < y < -1 \\[4pt]
1 - (\int_{-1}^{-1-y} \frac{1}{4} dt) & -1 \leq y \leq 0\\[4pt]
1 & y > 0 \\[4pt]
\end{array}
\right.
$$
Lo svolgimento produrrà la seguente funzione di ripartizione:
$$ F_Y(y) =
\left\{
\begin{array}{lr}
0 & y \leq -2 \\[4pt]
\frac{3}{4}y^2 & -2 \leq y \leq 1\\[4pt]
\frac{y}{4}+1 & -1 \leq y \leq 0\\[4pt]
1 & y > 0 \\[4pt]
\end{array}
\right.
$$
Poichè $F_Y'(y) = f_Y(y)$, si avrà la seguente funzione di densità:
$$f_Y(y) =
\left\{
\begin{array}{lr}
\frac{3}{2}y & -2 < y < -1 \\[4pt]
1/4 & -1\leq y \leq0 \\[4pt]
0 & altrove \\[4pt]
\end{array}
\right.
$$
Effettuando il calcolo dell'integrale per verificare se è una funzione di densità si ha un risultato negativo.
Nella fattispecie:
$$\int_{-1}^{0} \frac{1}{4} dy +\int_{-2}^{-1} \frac{3}{2}y dy = -2 $$
Risposte
Dunque intanto complimenti per l'ordine nell'esposizione e nell'inserimento delle formule, difficilmente si vedono post così chiari e ben inseriti. 
Hai sbagliato gli estremi di integrazione per la trasformazioe di variabile[nota]volendo seguire il tuo procedimento per trovare $F_Y$, il calcolo corretto è questo:
$int_(-(y+1))^(1)3/2xdx=3/4-3/4(y+1)^2$ per $y in (-2;-1)$
$3/4+int_(-(y+1))^(0)1/4dx=3/4+(y+1)/4$ per $y in[-1;0]$
(ma ti consiglio di applicare il metodo che ti ho descritto io)[/nota].
Per trasformare una variabile con funzione di trasformazione monotona (in questo caso decrescente), senza fare troppi conti e senza tirare in ballo gli integrali basta osservare che, in base alla definizione di funzione di ripartizione:
$F_Y(y)=P(Y<=y)=P(g(X)<=y)=P[X>g^(-1)(y)]=1-F_X[g^(-1)(y)]$
da cui derivando otteniamo subito la densità di Y
$f_Y(y)=f_X(g^(-1)(y))|d/(dy)g^(-1)(y)|$
che porta immediatamente ad avere la seguente densità per la variabile y
$f_Y(y)-={{: ( -3/2(y+1) ,;-2
Hai sbagliato gli estremi di integrazione per la trasformazioe di variabile[nota]volendo seguire il tuo procedimento per trovare $F_Y$, il calcolo corretto è questo:
$int_(-(y+1))^(1)3/2xdx=3/4-3/4(y+1)^2$ per $y in (-2;-1)$
$3/4+int_(-(y+1))^(0)1/4dx=3/4+(y+1)/4$ per $y in[-1;0]$
(ma ti consiglio di applicare il metodo che ti ho descritto io)[/nota].
Per trasformare una variabile con funzione di trasformazione monotona (in questo caso decrescente), senza fare troppi conti e senza tirare in ballo gli integrali basta osservare che, in base alla definizione di funzione di ripartizione:
$F_Y(y)=P(Y<=y)=P(g(X)<=y)=P[X>g^(-1)(y)]=1-F_X[g^(-1)(y)]$
da cui derivando otteniamo subito la densità di Y
$f_Y(y)=f_X(g^(-1)(y))|d/(dy)g^(-1)(y)|$
che porta immediatamente ad avere la seguente densità per la variabile y
$f_Y(y)-={{: ( -3/2(y+1) ,;-2
Grazie mille per la risposta esaustiva.
In effetti non avevo pensato ad applicare la definizione per ricavarmi direttamente la funzione di densità.
A questo punto, tuttavia, non capisco come impostare gli estremi di integrazione utilizzando il metodo che ho proposto.
Quando ho a che fare con una funzione monotona crescente so che $F_Y(y) = F_X(\varphi^-1(y))$.
Avendo quindi una funzione di ripartizione di questo tipo:
$$F_X(x) =
\left\{
\begin{array}{lr}
0 & x \le \alpha \\[4pt]
\int_{\alpha}^{x} f_1(t) dt & \alpha \leq x \leq \beta\\[4pt]
\int_{\alpha}^{\beta} f_1(t) dt + \int_{\beta}^{x} f_2(t) dt & \beta < x <\gamma \\[4pt]
1 & x \geq \gamma \\[4pt]
\end{array}
\right.
$$
La funzione di ripartizione di $Y$ sarà, se ho ben capito:
$$F_Y(y) = F_X(\varphi^-1(y)) =
\left\{
\begin{array}{lr}
0 & y \le \alpha_y \\[4pt]
\int_{\alpha_y}^{\varphi^-1(y)} f_1(t) dt & \alpha_y \leq y \leq \beta_y\\[4pt]
\int_{\alpha_y}^{\beta_y} f_1(t) dt + \int_{\beta_y}^{\varphi^-1(y)} f_2(t) dt & \beta_y < y <\gamma_y \\[4pt]
1 & y \geq \gamma_y \\[4pt]
\end{array}
\right.
$$
Cosa succede nel caso decrescente?
Io so che $F_y(y) = 1 - F_X(\varphi^-1(y)) = S_X(\varphi^-1(y))$, dove $S_X$ rappresenta la funzione di sopravvivenza di $X$.
Premetto, comunque, che effettivamente il tuo metodo è più veloce e meno soggetto ad errori, ma vorrei quantomeno capire dove sbaglio.
In effetti non avevo pensato ad applicare la definizione per ricavarmi direttamente la funzione di densità.
A questo punto, tuttavia, non capisco come impostare gli estremi di integrazione utilizzando il metodo che ho proposto.
Quando ho a che fare con una funzione monotona crescente so che $F_Y(y) = F_X(\varphi^-1(y))$.
Avendo quindi una funzione di ripartizione di questo tipo:
$$F_X(x) =
\left\{
\begin{array}{lr}
0 & x \le \alpha \\[4pt]
\int_{\alpha}^{x} f_1(t) dt & \alpha \leq x \leq \beta\\[4pt]
\int_{\alpha}^{\beta} f_1(t) dt + \int_{\beta}^{x} f_2(t) dt & \beta < x <\gamma \\[4pt]
1 & x \geq \gamma \\[4pt]
\end{array}
\right.
$$
La funzione di ripartizione di $Y$ sarà, se ho ben capito:
$$F_Y(y) = F_X(\varphi^-1(y)) =
\left\{
\begin{array}{lr}
0 & y \le \alpha_y \\[4pt]
\int_{\alpha_y}^{\varphi^-1(y)} f_1(t) dt & \alpha_y \leq y \leq \beta_y\\[4pt]
\int_{\alpha_y}^{\beta_y} f_1(t) dt + \int_{\beta_y}^{\varphi^-1(y)} f_2(t) dt & \beta_y < y <\gamma_y \\[4pt]
1 & y \geq \gamma_y \\[4pt]
\end{array}
\right.
$$
Cosa succede nel caso decrescente?
Io so che $F_y(y) = 1 - F_X(\varphi^-1(y)) = S_X(\varphi^-1(y))$, dove $S_X$ rappresenta la funzione di sopravvivenza di $X$.
Premetto, comunque, che effettivamente il tuo metodo è più veloce e meno soggetto ad errori, ma vorrei quantomeno capire dove sbaglio.
Dunque, metodi per capire qualil siano i corretti estremi di integrazione ce ne sono tanti; non so il tuo docente come ti abbia spiegato la questione ma io preferisco partire dal grafico della funzione di trasformazione
innanzitutto vedi che il dominio della Y (che coincide con l'immagine di X) è $[-2;0]$
Ora per integrare su Y basta osservare cosa succede alla X, in funzione di Y. Cercare $P(Y
$int_(-(y+1))^(1)3/2x dx$
come ti ho anche indicato nella nota....
Per l'altro intervallo, devi valutare quanto vale $F_Y(-1)=3/4$ dopodiché integri esattamente come ti ho spiegato.
Questo metodo lo puoi utilizzare per ogni trasformazione, monotona o no
spero sia chiaro
innanzitutto vedi che il dominio della Y (che coincide con l'immagine di X) è $[-2;0]$
Ora per integrare su Y basta osservare cosa succede alla X, in funzione di Y. Cercare $P(Y
$int_(-(y+1))^(1)3/2x dx$
come ti ho anche indicato nella nota....
Per l'altro intervallo, devi valutare quanto vale $F_Y(-1)=3/4$ dopodiché integri esattamente come ti ho spiegato.
Questo metodo lo puoi utilizzare per ogni trasformazione, monotona o no
spero sia chiaro
\[ \sigma_Y^2 = \mathbb{E}(Y^2) - \mathbb{E^2}(Y) = \mathbb{E}((-(X+1))^2) - \mathbb{E^2}(-(X+1)) \mathbb{E}(Y) = \mathbb{E}(-(X+1)) \int_{-\infty}^{+\infty} -(x+1)f_X(x) dx \]Ok, ho faticato un po' nel capire il grafico ma penso di essere riuscito a capire come si debba ragionare.
Un'ultima domanda: Se mi venisse chiesto di calcolare $\mathbb{E}(Y)$ e $\sigma_Y^2$ ho necessariamente bisogno della funzione di densità di $Y$?
Dovrebbe, infatti, valere la proprietà:
$$\mathbb{E}(\varphi(X)) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x)f_X(x) dx$$
Riprendendo l'esercizio precedente, con $Y = -(X+1)$, allora dovrei avere:
$$\mathbb{E}(Y) = \mathbb{E}(-(X+1)) \int_{-\infty}^{+\infty} -(x+1)f_X(x) dx$$
$$\sigma_Y^2 = \mathbb{E}\left(\left(-(X+1)\right)^2 \right) - \mathbb{E^2}\left(-(X+1)\right) = \int_{-\infty}^{+\infty} \left(-(x+1)\right)^2f_X(x) dx - \left(\int_{-\infty}^{+\infty} -(x+1)f_X(x) dx \right)^2$$
Un'ultima domanda: Se mi venisse chiesto di calcolare $\mathbb{E}(Y)$ e $\sigma_Y^2$ ho necessariamente bisogno della funzione di densità di $Y$?
Dovrebbe, infatti, valere la proprietà:
$$\mathbb{E}(\varphi(X)) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x)f_X(x) dx$$
Riprendendo l'esercizio precedente, con $Y = -(X+1)$, allora dovrei avere:
$$\mathbb{E}(Y) = \mathbb{E}(-(X+1)) \int_{-\infty}^{+\infty} -(x+1)f_X(x) dx$$
$$\sigma_Y^2 = \mathbb{E}\left(\left(-(X+1)\right)^2 \right) - \mathbb{E^2}\left(-(X+1)\right) = \int_{-\infty}^{+\infty} \left(-(x+1)\right)^2f_X(x) dx - \left(\int_{-\infty}^{+\infty} -(x+1)f_X(x) dx \right)^2$$
Sì esattamente. Media e varianza possono essere calcolate anche senza conoscere la densità di Y, come hai giustamente osservato. In genere, se ti chiedono media e varianza di una trasformazione le calcoli come hai indicato tu, ovvero senza precalcolarti la distribuzione della variabile trasformata. Se invece ti chiedono già la densità della variabile trasformata, allora conviene usare quella....poi ovviamente ogni esercizio va valutato a sè.
La trasformazione dell'esercizio in questione è semplicissima e si risolve anche a mente, ma nel forum ho risolto e commentato diverse centinaia di esercizi sulle trasformazioni di variabile, anche molto articolati. Cerca e guardali per prendere dimestichezza con il metodo grafico che ti ho illustrato perché ti assicuro che ti sarà molto utile.
Ciao
La trasformazione dell'esercizio in questione è semplicissima e si risolve anche a mente, ma nel forum ho risolto e commentato diverse centinaia di esercizi sulle trasformazioni di variabile, anche molto articolati. Cerca e guardali per prendere dimestichezza con il metodo grafico che ti ho illustrato perché ti assicuro che ti sarà molto utile.
Ciao
Ecco l'esempio sotto l'albero di Natale..... semplice ma molto esplicativo
Sia $X~U(0;2)$ ovvero $F_X=x/2$
Consideriamo la seguente trasformazione
$Y=2X-X^2$ che vediamo nel grafico
Osserviamo che, se $Y>y$ allora $a
$y=-x^2+2x-1+1=1-(x-1)^2$
$(x-1)^2=1-y$
$x=1+-sqrt(1-y)$[/nota]
$P(Y>y)=P(a
$F_Y=1-F_X(b)+F_X(a)=1-sqrt(1-y)$
dove ovviamente $y in (0;1)$
Qui, per esempio, per calcolare la media di Y conviene sfruttare le proprietà di media e varianza trovando subito
$E(Y)=2E(X)-E(X^2)=2mu_X-sigma_(X)^2-mu_(X)^2$
ovvero trovando che la media di Y è funzione dei parametri (noti) di X
Sia $X~U(0;2)$ ovvero $F_X=x/2$
Consideriamo la seguente trasformazione
$Y=2X-X^2$ che vediamo nel grafico
Osserviamo che, se $Y>y$ allora $a
$y=-x^2+2x-1+1=1-(x-1)^2$
$(x-1)^2=1-y$
$x=1+-sqrt(1-y)$[/nota]
$P(Y>y)=P(a
$F_Y=1-F_X(b)+F_X(a)=1-sqrt(1-y)$
dove ovviamente $y in (0;1)$
Qui, per esempio, per calcolare la media di Y conviene sfruttare le proprietà di media e varianza trovando subito
$E(Y)=2E(X)-E(X^2)=2mu_X-sigma_(X)^2-mu_(X)^2$
ovvero trovando che la media di Y è funzione dei parametri (noti) di X
la densitá de Y=-X é la simmetrica de X (y-axis).
doppo translatare 1 verso sinistra . Y =-X-1 . visualizzare facile cntrollare i calculi.
Doppo FdR
distinti saliti Niko
doppo translatare 1 verso sinistra . Y =-X-1 . visualizzare facile cntrollare i calculi.
Doppo FdR
distinti saliti Niko
Hi Niko. I'm not sure I understood your way to proceed. Anyway, the fastest way to get $f_Y$ is the following:
$f_Y(y)=f_X[g^(-1)(y)]$
as $|d/(dy)g^(-1)(y)|=1$
This leads to the correct result without making any calculation.
If your want to interact in this forum you can do it in English and please insert the formulas in a correct way. Do not use an automatic translator into Italian because the result is very bad.
[xdom="tommik"]IMPORTANT NOTICE: I will erase any orher post written in such an ugly format[/xdom]
$f_Y(y)=f_X[g^(-1)(y)]$
as $|d/(dy)g^(-1)(y)|=1$
This leads to the correct result without making any calculation.
If your want to interact in this forum you can do it in English and please insert the formulas in a correct way. Do not use an automatic translator into Italian because the result is very bad.
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