Calcolo della CDF dalla correlazione di due variabili aleatorie

[djanthony931]

Ho due variabili aleatori U e V che sono ottenute mediante trasformazione di altre due variabili aleatori X e Y indipendenti:

$\{(U=X-Y),(V=X+Y):}$

Sapendo che $E[UV]=0$, $E=E[V]=1$ e $E[U^2]=E[V^2]=4$ posso dimostrare che sono indipendenti?

[feddy]

Suppongo tu non conosca le variabili $X$ e $Y$ in gioco. Visti i dati, credo tu debba calcolare il coefficiente di correlazione $p$ che mi pare risulti $p=-1/3$.

[Lo_zio_Tom]

@djanthony93: ma il testo del problema qual è? Se non sai risolvere un esercizio la prima cosa da fare è scrivere il testo completo (te l'ho già detto l'altra volta). Nel titolo scrvi che devi calcolare una CDF (Io un'idea di quale potrebbe essere il testo me la sono fatta....ma aspetto che lo scriva tu per esteso)

dai dati che hai messo, come giustamente ha osservato Feddy, le variabili sono correlate negativamente e quindi non possono essere indipendenti....inoltre sapere i momenti secondi non serve a nulla per provare che non sono indipendenti...basta la covarianza $E(UV)-E(U)E(V)=-1$

[djanthony931]

Sia (X; Y ) una coppia di variabili aleatorie indipendenti, e si consideri la coppia di variabili aleatorie
(U; V ) ottenute mediante la seguente trasformazione:

$\{(U=X-Y),(V=X+Y):}$

Si assuma che $E = E[V ] = 1, E[UV ] = 0, E[U^2] = E[V^2] = 4.$
(a) Calcolare le medie e le varianze di X ed Y .
(b) Calcolare correlazione, covarianza e coefficiente di correlazione tra X ed Y .
(c) Stabilire se le variabili aleatorie (U; V ) sono indipendenti.

[Lo_zio_Tom]

e la CDF che hai messo nel titolo che c'entra?

$E(X)=1$

$E(Y)=0$

Edit

$V(X)=2$ , $V(Y)=1$

se X e Y sono indipendenti allora covarianza e coefficiente di correlazione sono pari a zero.
In questo caso anche la correlazione è zero, essendo $E(X)E(Y)=0$


U e V non sono indipendenti in quanto correlati

[djanthony931]

Perchè pensavo di poter calcolare la CDF a partire dai risultati noti scritti sopra

[djanthony931]

I risultati che ho trovato sono questi:

$Var(X)=1$, $Var(Y)=2$. Le medie mi trovo come te. Corr(X,Y)=0, $Cov(X,Y)=0$ coefficiente di correlazione tra X e Y sempre uguale a zero.

Ci troviamo?

[djanthony931]

Quindi se due variabili sono correlate negativamente, sono indipendenti?

[Lo_zio_Tom]

Se sono correlate NON sono indipendenti

Se sono Non correlate non puoi dire nulla, a meno che non siano gaussiane.

Positivamente o negativamente non cambia nulla

[djanthony931]

come posso dimostrare l'indipendenza di U e V in questo caso?

[Lo_zio_Tom]

"djanthony93":Sia (X; Y ) una coppia di variabili aleatorie indipendenti, e si consideri la coppia di variabili aleatorie
(U; V ) ottenute mediante la seguente trasformazione:

$\{(U=X-Y),(V=X+Y):}$

Si assuma che $E = E[V ] = 1, E[UV ] = 0, E[U^2] = E[V^2] = 4.$
(a) Calcolare le medie e le varianze di X ed Y .
(b) Calcolare correlazione, covarianza e coefficiente di correlazione tra X ed Y .
(c) Stabilire se le variabili aleatorie (U; V ) sono indipendenti.

la risposta al punto C) è: le variabili U e V NON sono indipendenti e lo si dimostra perché sono correlate, avendo covarianza $!=0$

Ora è più chiaro?

[djanthony931]

Si, grazie ancora