Calcolo combinatorio sui possibili caratteri del sistema di lettura Braille
Salve a tutti, ho un quesito di calcolo combinatorio che non mi spiego :
sapendo che nel sistema di lettura Braille ogni singolo carattere è realizzato da un insieme di punti sollevati rispetto al piano di riferimento e che la posizione dei punti può essere scelta tra 2 colonne formate da 3 punti ciascuna di cui in almeno una un punto deve essere sollevato: QUANTI CARATTERI DISTINTI HA A DISPOSIZIONE IL SISTEMA BRAILLE?
Secondo il mio ragionamento c'è innanzitutto una considerazione da fare : ogni punto è significativo al fine di rappresentare un carattere Braille sia che sia sollevato sia che non lo sia... praticamente può assumere 2 configurazioni valide per lo scopo.
Ora, a parte un punto che deve necessariamente essere sollevato i 5 rimanenti punti possono essere alzati sciegliendo in 5 modi diversi il primo, in 4 modi per sciegliere il secondo, in 3 modi per il terzo, in 2 modi il quarto ed in un solo modo l'ultimo.
Quindi, io direi che il calcolo si riduce a :
(5!)*2 = 240 possibili caratteri
Io direi questo ma in realtà la soluzione è (2^6)-1
2^6 è la formula che corrisponde al numero di sottoinsiemi ottenibili da un insieme di 6 elementi...e quindi non ne capisco perchè. Avrei detto che questo è un problema di disposizioni(o meglio di permutazione) in quanto conta l'ordine.
Qualcuno mi sa dire dove sbaglio?
sapendo che nel sistema di lettura Braille ogni singolo carattere è realizzato da un insieme di punti sollevati rispetto al piano di riferimento e che la posizione dei punti può essere scelta tra 2 colonne formate da 3 punti ciascuna di cui in almeno una un punto deve essere sollevato: QUANTI CARATTERI DISTINTI HA A DISPOSIZIONE IL SISTEMA BRAILLE?
Secondo il mio ragionamento c'è innanzitutto una considerazione da fare : ogni punto è significativo al fine di rappresentare un carattere Braille sia che sia sollevato sia che non lo sia... praticamente può assumere 2 configurazioni valide per lo scopo.
Ora, a parte un punto che deve necessariamente essere sollevato i 5 rimanenti punti possono essere alzati sciegliendo in 5 modi diversi il primo, in 4 modi per sciegliere il secondo, in 3 modi per il terzo, in 2 modi il quarto ed in un solo modo l'ultimo.
Quindi, io direi che il calcolo si riduce a :
(5!)*2 = 240 possibili caratteri
Io direi questo ma in realtà la soluzione è (2^6)-1
2^6 è la formula che corrisponde al numero di sottoinsiemi ottenibili da un insieme di 6 elementi...e quindi non ne capisco perchè. Avrei detto che questo è un problema di disposizioni(o meglio di permutazione) in quanto conta l'ordine.
Qualcuno mi sa dire dove sbaglio?
Risposte
Ho controllato il braille e basta un punto solo per la lettera e i punti possono essere su una sola colonna
Chiamiamo A e B le colonne e 123 i piani
Vediamo cosa succede
1 punto sollevato - > 6 possibilità
2 punti sollevati su una sola colonna - > A1A2+A1A3+... Simmetricamente B1B2... 3+3=6
2 punti sollevati 1 sulla prima colonna e l altro sull altra - > A1B1+A1B2... - >9
3 punti sollevati su 1 colonna - > 2
3 punti sollevati su 2 colonne - > A1B1B2+A1B1B3... - > 9+9=18
Ora dovrebbero cominciare le simmetrie
4 punti sollevati sono il simmetrico di 2 punti sollevati - >6
4 punti sollevati due su una colonna e due sull altra
A1A2B1B2+... - >9
4 punti sollevati 1 su una colonna e tre sull altra - > 3+3=6
5 punti sollevati - >6
6 punti sollevati - >1 dovrebbe essere il simmetrico di nessun punto sollevato che però non prendiamo in considetazione
È la somma che fa il totale
1+6+15+20+15+6+1=64
Ma il primo 1 nn lo dobbiamo considerare perchè è quello con nessun punto sollevato sicché
64-1
Ora i possibili sottoinsiemi che si ottengono da un insieme di cardinality $n$ is $2^n$ compresi i sottoinsiemi impropri (vuoto e l insieme stesso), ma abbiamo detto che l insieme vuoto non lo consideriamo.
Proviamo a costruire un problema simile
Costruiamo una scacchiera 4x3 (3 colonne una rossa una blu e una verde e quattro righe numerate) , abbiamo 12 pedine, ne dobbiamo mettere almeno 1, quante configurazioni possibili?
Chiamiamo A e B le colonne e 123 i piani
Vediamo cosa succede
1 punto sollevato - > 6 possibilità
2 punti sollevati su una sola colonna - > A1A2+A1A3+... Simmetricamente B1B2... 3+3=6
2 punti sollevati 1 sulla prima colonna e l altro sull altra - > A1B1+A1B2... - >9
3 punti sollevati su 1 colonna - > 2
3 punti sollevati su 2 colonne - > A1B1B2+A1B1B3... - > 9+9=18
Ora dovrebbero cominciare le simmetrie
4 punti sollevati sono il simmetrico di 2 punti sollevati - >6
4 punti sollevati due su una colonna e due sull altra
A1A2B1B2+... - >9
4 punti sollevati 1 su una colonna e tre sull altra - > 3+3=6
5 punti sollevati - >6
6 punti sollevati - >1 dovrebbe essere il simmetrico di nessun punto sollevato che però non prendiamo in considetazione
È la somma che fa il totale
1+6+15+20+15+6+1=64
Ma il primo 1 nn lo dobbiamo considerare perchè è quello con nessun punto sollevato sicché
64-1
Ora i possibili sottoinsiemi che si ottengono da un insieme di cardinality $n$ is $2^n$ compresi i sottoinsiemi impropri (vuoto e l insieme stesso), ma abbiamo detto che l insieme vuoto non lo consideriamo.
Proviamo a costruire un problema simile
Costruiamo una scacchiera 4x3 (3 colonne una rossa una blu e una verde e quattro righe numerate) , abbiamo 12 pedine, ne dobbiamo mettere almeno 1, quante configurazioni possibili?
"Elisa74":
2^6 è la formula che corrisponde al numero di sottoinsiemi ottenibili da un insieme di 6 elementi...e quindi non ne capisco perchè.
Ci sono $2^6$ combinazioni in totale, ma quella senza alcun punto sollevato non va bene quindi sottrai 1.
Io procederei così: intanto trovo n e k e poi faccio delle considerazioni.
n è il numero degli oggetti da disporre ed è = 12
k è il numero delle locazioni dove vado a disporre gli oggetti ed è = 12
ora mi chiedo se è importante l'ordine e direi propio di si, da cui deduco che siamo in presenza di una permutazione di n oggetti senza ripetizioni(se dispongo una pedina in una locazione non posso disporla anche in un'altra).
Quindi la formula è P(12) = 12!
Più semplicemente potrei osservare che la prima casella la posso occupare con 12 pedine diverse, poi con 11 e via dicendo fino all'ultima con l'ultima pedina.
n è il numero degli oggetti da disporre ed è = 12
k è il numero delle locazioni dove vado a disporre gli oggetti ed è = 12
ora mi chiedo se è importante l'ordine e direi propio di si, da cui deduco che siamo in presenza di una permutazione di n oggetti senza ripetizioni(se dispongo una pedina in una locazione non posso disporla anche in un'altra).
Quindi la formula è P(12) = 12!
Più semplicemente potrei osservare che la prima casella la posso occupare con 12 pedine diverse, poi con 11 e via dicendo fino all'ultima con l'ultima pedina.
I disagree
It looks like the first problem
Nn sono d'accordo
Sembra uguale al primo problema (quello del braille)
Le pedine sono tutte uguali
It looks like the first problem
Nn sono d'accordo
Sembra uguale al primo problema (quello del braille)
Le pedine sono tutte uguali
Ci è voluto, ma ora l'ho capito il problema!!
Spiego come la vedo io:
qui si sta chiedendo quanti sottoinsiemi di 1, di 2, di 3, di 4, di 5 e di 6 elementi distinti si possono creare dall'insieme di partenza. Ed infine di sommare tutte le soluzioni ottenute.
Quindi, quando si parla di cercare il numero di sottoinsiemi di k elementi da un insieme di n elementi si sta parlando di combinazionoi, e qui ne stiamo cercando di 6 diversi tipi. perciò la soluzione è C(6,6) + C(6,5)+ C(6,4)+ C(6,3)+ C(6,2)+ C(6,1) = 1+6+15+20+15+6 = 63 possibili sottoinsiemi.
Il quesito posto ricorda l'insieme potenza di un insieme A, che per definizione ha cardinalità 2^n , dove n sta per il numero degli elementi dell'insieme A; in questo caso noi scartiamo l'insieme vuoto che nell'insieme potenza è presente ma nel nostro esempio no perchè non esiste il carattere Braille senza nessun punto sollevato.
Spiego come la vedo io:
qui si sta chiedendo quanti sottoinsiemi di 1, di 2, di 3, di 4, di 5 e di 6 elementi distinti si possono creare dall'insieme di partenza. Ed infine di sommare tutte le soluzioni ottenute.
Quindi, quando si parla di cercare il numero di sottoinsiemi di k elementi da un insieme di n elementi si sta parlando di combinazionoi, e qui ne stiamo cercando di 6 diversi tipi. perciò la soluzione è C(6,6) + C(6,5)+ C(6,4)+ C(6,3)+ C(6,2)+ C(6,1) = 1+6+15+20+15+6 = 63 possibili sottoinsiemi.
Il quesito posto ricorda l'insieme potenza di un insieme A, che per definizione ha cardinalità 2^n , dove n sta per il numero degli elementi dell'insieme A; in questo caso noi scartiamo l'insieme vuoto che nell'insieme potenza è presente ma nel nostro esempio no perchè non esiste il carattere Braille senza nessun punto sollevato.
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