Calcolo combinatorio e probabilità

[vitunurpo]

Ciao

Avrei una domanda da sottoporvi... spero che non risulti troppo ridicola ahaha

In un problema mi chiedono ''In uno scompartimento vengono allineate in modo totalmente causale N persone. A e B sono parte del gruppo e vogliono stare vicini. Con che probabilità accadrà questa cosa? E se le persone si dispongono in cerchio anziché in linea cambia qualcosa?''

Ecco il mio ragionamento: Ho N persone e voglio combinarle in N posti. L'ordine ovviamente conta, quindi considero le permutazioni (senza ripetizioni ovviamente ahah) di N persone in N posti. Nelle N persone ci sono dentro anche A e B.
Ora devo considerare i casi in cui A e B sono vicini. I casi totali in cui le due persone sono vicine sono (N-2+1), con N sempre il numero totale di persone ( o posti...tanto è lo stesso numero ).

Secondo voi ha senso $ ((N-2)!)/(N!) $ ? Dovrei anche moltiplicare per le permutazioni di 2? quindi per $ 2! $ ?

Per quanto riguarda la seconda domanda... Se dovessi considerare solo la mia formula, direi che non cambia assolutamente nulla. Quindi che far sedere le persone in linea e farle sedere in cerchio è esattamente la stessa cosa. Ma se provo a pensarci... nel caso in cui siano sedute in cerchio ho un caso in più in cui A e B possono essere vicini, ovvero il caso in cui A sieda all'estremo sinistro e B sieda all'estremo destro. In riga A e B non risulterebbero vicini, ma in un cerchio si.

Il problema è analogo ad un altro che mi è stato sottoposto e per cui ho fatto un ragionamento analogo.
Dato che è molto simile mi prendo la liberà di poterlo inserire qui .

''k persone si siedono su una fila di n sedie, con n>k ( quindi ho più posti che persone). Con quale probabilità le persone occuperanno sedie adiacenti (ovvero si disporranno in modo da non lasciare posti vuoti tra uno e l'altro)?''

Come caso totale ho considerato le disposizioni senza ripetizione (non voglio che una persona si sieda in braccio ad un'altra ahah) di n elementi in posti k quindi il classico $ (n!)/((n-k)!) $
Per i casi possibili invece ho considerato un'espressione analoga a quella precedente , quindi $ n-k+1 $ .
Concludendo : $ (n-k+1)/((n!)/((n-k)!) $
E qui ancora il dubbio: devo moltiplicare anche per le permutazioni delle k persone? quindi per $ k! $ ??

Spero di aver scritto bene le formule.. altrimenti provvedo subito a sistemarle

[vitunurpo]

Okay credo proprio che si debba moltiplicare anche per le permutazioni di k.
Quindi come soluzioni finali mettere in definitiva

Per il primo

$ ((N-2)!2!)/(N!) $

E per il secondo invece

$ ((n-k+1)k!)/((n!)/((n-k)!)) $

[Lo_zio_Tom]

"vitunurpo":Ciao

Avrei una domanda da sottoporvi... spero che non risulti troppo ridicola ahaha

la domanda no.....le risposte che hai fornito un pochino.....

I risultati corretti sono i seguenti:

1) $2/N$; $N>=2$

2) $2/(N-1)$; $N>=3$

la spiegazione è estremamente banale:

caso 1) : permutazioni lineari

se $AB$ vogliono stare vicini, li possiamo considerare come un unico elemento, per cui le permutazioni favorevoli risultano $(N-1)!$...evidentemente potrei avere anche $BA$ e quindi il totale delle permutazioni favorevoli sarà $2(N-1)!$

quindi il risultato è $(2(N-1)!)/(N!)=2/N$


caso 2) : permutazioni circolari

come noto (ma purtroppo occorre studiare per saperlo), le permutazioni circolari di N elementi sono $(N-1)!$

Quindi con lo stesso ragionamento otteniamo

$(2(N-2)!)/((N-1)!)=2/(N-1)$

Che le permutazioni circolari siano meno di quelle lineari è di facile dimostrazione. Consideriamo infatti, con $N=3$ per semplicità, le seguenti tavolate



come puoi notare, le permutazioni 2,3, 5 e le permutazioni 1,4,6 da un punto di vista delle posizioni occupate coincidono, dato che in tutte e tre tutti i componenti hanno alla loro sinistra ed alla loro destra i medesimi personaggi. Quindi, a meno che non vi sia un punto zero da cui partire, il totale delle permutazioni di 3 elementi sarà $2! =2$ e non $3! =6$ come nel caso di permutazioni in linea

saluti

[vitunurpo]

Ciao Tommik, grazie per la risposta, ci ragiono un attimo ora.
Mi spiace di aver fornito risposte un pochetto ridicole, ma mi sembra ovvio che se fossero state giuste e io fossi stato sicuro non avrei chiesto aiuto qui

Grazie per le permutazioni circolari.. il mio libro non ne parlava, quindi, anche studiando non potevo sognarmele.
Le considererò.

[Lo_zio_Tom]

"vitunurpo":...per le permutazioni circolari.. il mio libro non ne parlava, quindi, anche studiando non potevo sognarmele.
Le considererò.

[strike]se il libro non parla di permutazioni circolari non potresi risolvere il problema....quindi fallo presente all'insegnante...[/strike]

[dietro suggerimento] ho capito che l'esercizio del punto b) si può risolvere anche senza utilizzare le permutazioni circolari:

$(2(N-1)!)/(N!)+(2(N-2)!)/(N!)=...=2/(N-1)$

ovviamente con lo stesso risultato


saluti

[vitunurpo]

Allora, ho provato a ripensare alle mie risposte e secondo me manca un pezzo. Ti spiego anche il ragionamento.

dunque, per il primo problema io ho N persone , e N coincide anche con il numero di posti a sedere.
$ N! $ sicuramente è il numero di permutazioni che ho per tutte le N persone in riga, compresi A e B.
Ora li fisso e, secondo me, le permutazioni diventano di $ (N-2)! $ e non $ (N-1)! $ ...
Se metti che ho 10 persone e ne blocco 2, ho $ 8! $ modi di permutare le altre.

Poi, considero anche il caso delle permutazioni degli elementi ''congelati'' insieme, quindi in questo caso $ (2!)=2 $ .
Poi... ci mettere anche un altro fattore, ovvero il numero di ''posti'' che possono occupare A e B, ad esempio, se considero un set di 10 persone come dicevo sopra, posso avere
AB_ _ _ _ _ _ _ _
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che è $ (N-2+1) $

Sono andato a cercare le permutazioni cicliche e si, le cose cambiano ovviamente..

[vitunurpo]

Lo so... In realtà non ce ne ha mai parlato di permutazioni circolari.
Vado a studiarmele per i fatti miei