Calcolo combinatorio e formula di Stirling

[fbafkis]

Salve, ho un problema di calcolo combinatorio, che abbiamo appena visto a lezione, diviso in tre quesiti. Ho qualche dubbio sull'interpretazione che ho dato al testo, e di conseguenza alla correttezza del mio metodo di svolgimento:

[*:119kqz6v]

3 palline bianche, 4 palline rosse e 5 palline verdi vengono disposte in fila. Se tutte le palline dello stesso colore non sono distinguibili fra loro, quanti diversi allineamenti sono possibili?


Io ho pensato di risolvere considerando le permutazioni di $n$ elementi non tutti distinti. Cioè $P_12^{3,4,5}=(12!)/(3!*4!*5!)=479001600/17280=27720$
Però ho il sospetto che così non sia rispettato il testo, cioè le palline dei singoli colori vengono considerate come singole, cioè distinte e in teoria il testo non è così. E' così?[/*:m:119kqz6v]
[*:119kqz6v]

Con 9 consonanti e 5 vocali, quante parole di 4 diverse consonanti e 2 diverse vocali possono venire formate? Non è necessario che le parole abbiano un significato. Riportare il logaritmo naturale del numero di parole che si possono formare.


Ho risolto calcolando innanzitutto le disposizioni senza ripetizioni delle consonanti e delle vocali. Quindi $D_{9,4}=(9!)/(5!)=504$ e $D_{5,3}=(5!)/(3!)=20$ . Poi ho moltiplicato i due risultati, in quanto vanno considerate insieme le varie possibilità sia di consonanti che di vocali: $504*20=10080$. infine, dato che è richiesto il logaritmo: $log(10080)=9,2183$. [/*:m:119kqz6v]
[*:119kqz6v]

Utilizzare l'approssimazione di Stirling per calcolare il logaritmo natuale di 1667! (il logartimo naturale del fattoriale del numero).


Premesso che non ci è mai stata neanche nominata prima di ora l'approssimazione di Stirling, ho risolto semplicemente cercando di applicare la formula:

$ln(N!)=ln(N)+ln(N-1)+ln(N-2)+...+ln3+ln2+ln1$. Il mio dubbio è matematico: questa formula è equivalente a fare il fattorie del logaritmo di 1667? [/*:m:119kqz6v][/list:u:119kqz6v]

Grazie mille dei consigli e dei pareri!

[superpippone]

La risposta al primo quesito è corretta. Dividendo per $3!4!5!$ hai già tenuto conto del fatto che le palline siano indistinguibili.
Se fossero state distinguibili (numerate) la soluzione sarebbe stata semplicemente $12!$

Secondo quesito $C_(9,4)*C_(5,2)*P_6=126*10*720=907.200$
Quanto sia il logaritmo non lo so.

Terzo quesito: è oltre il limite delle mie conoscenze.....

[fbafkis]

Grazie mille, nel secondo punto ho scritto che volevo fare una cosa e poi ne ho fatta un'altra (ero stanco e distratto). Il terzo punto per la cronaca l'ho risolto con un semplicissimo programma in C++:

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

int main (){

double res=0.0000;

double n=1667.0000;

for(int i=1667;i>0;i--){

res=res+log(i);

}

cout<<endl<<res<<endl;

}