Calcolo combinatorio: disposizione con ripetizione
Stamattina durante la lezione di probabilità c'era un esempio in cui compariva la formula $ ( ( n+k-1 ),( n-1 ) ) $, ovvero la formula per il calcolo delle combinazioni con ripetizione.
Per come era posto il problema non l'ho associato alle combinazioni con ripetizione, ma l'ho risolto con questa formula intuitiva $ sum_(i = 1)^(n) ( ( k ),( i-1 ) ) $ .
Nell'esercizio il risultato era lo stesso, indifferentemente dal metodo utilizzato.
Mi sono chiesto se è vero che $ sum_(i = 1)^(n) ( ( k ),( i-1 ) ) =( ( n+k-1 ),( n-1 ) ) $ per ogni n naturale.
Ho verificato che per n=1 è vero, ma poi non riesco a procedere con l'induzione, cioè non riesco a semplificare i calcoli.
Qualcuno mi aiuta a dimostrarlo o confutarlo?
Per come era posto il problema non l'ho associato alle combinazioni con ripetizione, ma l'ho risolto con questa formula intuitiva $ sum_(i = 1)^(n) ( ( k ),( i-1 ) ) $ .
Nell'esercizio il risultato era lo stesso, indifferentemente dal metodo utilizzato.
Mi sono chiesto se è vero che $ sum_(i = 1)^(n) ( ( k ),( i-1 ) ) =( ( n+k-1 ),( n-1 ) ) $ per ogni n naturale.
Ho verificato che per n=1 è vero, ma poi non riesco a procedere con l'induzione, cioè non riesco a semplificare i calcoli.
Qualcuno mi aiuta a dimostrarlo o confutarlo?
Risposte
a me serviva sapere come dimostrare quella cosa con l'induzione, non come utilizzarla.
"MrJack":
Mi sono chiesto se è vero che $ sum_(i = 1)^(n) ( ( k ),( i-1 ) ) =( ( n+k-1 ),( n-1 ) ) $ per ogni n naturale.
Non ho compreso molto bene la formula che hai scritto (mi sembra strano che il $k$ sia fisso nella sommatoria...), ma comunque forse intendi riferirti ad una delle proprietà del Triangolo di Pascal, lo "Hockey Stick Pattern" (vedi qui a metà pagina), e anche la bella rappresentazione grafica in questo post di Umby.
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