Calcoli con densità congiunta

[bellrodo]

Ciao a tutti, ho difficoltà a capire questo argomento, visto che sui libri che ho a disposizione non viene molto approfondito.
Sulle dispense del mio professore viene presentato così:

Sia $Z=max(X,Y)$. Se $X$ ed $Y$ sono v.a. discrete anche $Z$ lo sarà ed abbiamo:

$P(Z=z) = P(max(X,Y)=z) = P(X=z,Y<=z)+P(X
$= \sum_{y<=z} P(X=z,Y=y) + \sum_{x
Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire?

In primis non capisco una cosa (sicuramente banale), ovvero: perchè abbiamo $Y<=z$ e $X Poi, quella serie come va risolta?
So già, che in caso di indipendenza delle v.a. , la densità congiunta diventa il prodotto delle densità marginali e in caso di non indipendenza, si risolve mediante la densità condizionata.
Quello che non capisco, è come trattare quella serie e il fatto che non ho esempi a disposizione dove viene applicata non mi perfette di comprendere a pieno l'argomento.

Spero che qualcuno possa aiutarmi, grazie in anticipo

[Lo_zio_Tom]

Il fatto che metta solo una volta $<=$ è per non contare due volte $P(X=z;Y=z)$; se non ti piace lo puoi togliere dalle sommatorie ed aggiungere $P(X=z;Y=z)$ al di fuori delle somme:

$P(Z=z)=sum_(x
Per il resto, su come risolvere occorre fare degli esempi....finora ho trovato solo esempi nel continuo (e ce ne sono decine sul formu che ho risolto) nel discreto non ricordo di averne risolti....ma il concetto è sempre quello

EDIT: nel discreto si può visualizzare il problema utilizzando una tabella a doppia entrata.

Ecco il primo esempio che mi viene in mente:

$X$ e $Y$ iid $B(1;1/2)$

calcolare la distribuzione di $Z=max(X,Y)$


inizia a risolvere questo....lo so è davvero semplice, e si risolve anche a mente... $Z~B(1;3/4)$

benché semplice, ho applicato esattamente le formule che hai scritto tu....

Ecco un altro esempio "lampante"






come vedi le due sommatorie che hai scritto vanno a sommare i numeri in tabella che ho colorato....

Ad esempio

$P(Z=4)=sum_(x<=4)p(X=x,Y=4)+sum_(y<4)p(X=4,Y=y)=sum_(x<4)p(X=x,Y=4)+sum_(y<4)p(X=4,Y=y)+P(X=4;Y=4)$

ora dovrebbe essere chiaro

"bellrodo":
Quello che non capisco, è come trattare quella serie

Caso per caso, con le dovute attenzioni.

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Te ne ho appena inventato un altro[nota]ma dove lo trovate un altro forum così... [/nota].....


Siano $X$ e $Y$ indipendenti ed identicamente distribuite come

$P(X=x)=1/(2^x)$

$x=1,2,....$

calcolare $P(Z=z)$ dove $Z=max(X,Y)$

l'ho anche risolto ed è piuttosto semplice

buon lavoro

[bellrodo]

Grazie penso di aver capito.

Provo ad arrivare, passo passo, alla soluzione del tuo primo esempio:

Sia $X~B(1,1/2)$ e $Y~B(1,1/2)$ due v.a. indipendenti, calcolare la distribuzione di $Z=max(X,Y)$

Allora:

$P(Z=1) = P(max(X,Y)=1)$

$=\sum_{y<=1} P(X=1,Y=y) + \sum_{x<1} P(X=x,Y=1)$

$=\sum_{y<=1} P(X=1)P(Y=y) + \sum_{x<1} P(X=x)P(Y=1)$

$=[P(X=1)P(Y=1)+P(X=1)P(Y=0)]+[P(X=0)P(Y=1)]$

$=1/4+1/2=3/4$

e dunque $Z~B(1,3/4)$

Giusto?

[Lo_zio_Tom]

se però lo visualizzi con una tabella a doppia entrata fai molta meno fatica



la variabile $z=max(X,Y)$ è quella descritta all'interno della tabella; come vedi vale solo zero oppure uno ed ogni casellina ha probabilità $1/4$, per l'indipendenza

quindi

$Z-={{: ( 0 , 1 ),( 1/4 , 3/4 ) :}$

io ho fatto così a farlo, mentalmente....ovviamente se vuoi imparare a trattare le somme hai fatto bene tu....

[bellrodo]

Grazie tommik sei il numero 1

Provo a risolvere anche il secondo esempio:

"tommik":
Siano $ X $ e $ Y $ indipendenti ed identicamente distribuite come

$ P(X=x)=1/(2^x) $

$ x=1,2,.... $

calcolare $ P(Z=z) $ dove $ Z=max(X,Y) $

$P(Z=1)=P(max(X,Y)=1)$

$=P(X=1)P(Y=1)+P(X=1)P(Y=0)+P(X=0)P(Y=1)$

$=1/4+1/4+1/4=3/4$

edit: mi sono appena reso conto di un errore, sarebbe:

$=1/4+1/2+1/2=5/4$ e non mi sembra corretto poichè $>1$

[Lo_zio_Tom]

1) applica bene la formula che ti ha scritto il prof (anche se secondo me la mia[nota]quella con $P(X=z;Y=z)$ a parte[/nota] è meglio perché è più simmetrica)

2) ricorda che anche $z = 1,2,....$

3) troverai una serie geometrica da risolvere....ecc ecc

a me viene così:

$P(Z=z)=1/(2^(2z))+1/(2^(z-1))[1-1/(2^(z-1))]$

$z=1,2,...$

[bellrodo]

Questo esercizio mi sta mettendo in difficoltà

Nell'esercizio precedente conoscevo il valore di $z$, quì sto facendo confusione nel determinare $max(X,Y)$ e non riesco a costruirmi la serie

[Lo_zio_Tom]

"bellrodo":Questo esercizio mi sta mettendo in difficoltà

vuol dire che l'ho pensato bene...



$P(Z=z)=1/(2^z)sum_(x=1)^(z-1)1/(2^x)+1/(2^z)sum_(y=1)^(z-1)1/(2^y)+1/(2^z)*1/(2^z)$

E' evidente che i primi due addendi (le due sommatorie) sono uguali e quindi

$P(Z=z)=2/(2^z) 1/2sum_(x=0)^(z-2)1/(2^x)+1/4^z$

$1/(2^z) (1-(1/2)^(z-1))/(1-1/2)+1/4^z=1/(2^(z-1))[1-1/(2^(z-1))]+1/4^z$

Che la soluzione sia giusta lo si può facilmente vedere così:

$sum_(z=1)^(oo)p(z)=sum_(z=1)^(oo)1/(2^(z-1))-sum_(z=1)^(oo)1/(4^(z-1))+sum_(z=1)^(oo)1/4^z=$

$=1/(1-1/2)-1/(1-1/4)+1/4 * 1/(1-1/4)=2-4/3+1/3=1$

[bellrodo]

Perfetto, adesso é tutto chiaro

Grazie