Calcolare speranza varianza coefficiente di correlazione
Salve a tuttiiiii ..Una moneta truccata in cui la probabilità di testa è $1/3$ viene lanciata
$3$ volte. Siano $NT$ e $NC$ rispettivamente il numero di teste e di croci
uscite. Calcolate il valore atteso e la varianza di $X = (NT) /3$ e di
$Y = (NC)/3$. Calcolate il coefficiente di correlazione tra (X) ed (Y).
Allora mi scrivo la legge di X e la legge di Y. Che dovrebbero esse leggi binomiali quindi $E[x] = n*p$
$n = 3$ $ p =1/3$
quindi
SPERANZA
$E[(NT)/3] = 1/3E[NT] = 1/3 (n*p) = 1/3$ (se ho fatto giusto)
$E[(NC)/3] = 1/3E[NC] = 1/3 (n*p) = 2/3$
VARIANZA
$VAR[(NT)/3] = 1/3 VAR[NT] = (n*p)* (1-p) = 2/3 $
$VAR[(NT)/3] = 1/3 VAR[NT] = (n*p)* (1-p) =1/3 $
però non sono sicura che per la varianza
valga il fatto che $VAR(a*X) = a*VAR(X)$
E' giusto fatto così???
Poi devo calcolare il coefficiente di correlazione
$ Sx,y = (cov(X,Y))/(sqrt(VAR(X)*VAR(Y))$
il mio problema sta nel calcolare la covarianza che si trova
$cov(X,Y) = E[X*Y] - E[X] * E[Y]$
in particolare nel trovare $ E[X*Y]$ ??? per prima cosa posso fare una tabella con scritti i valori di X e di Y e poi moltiplicarli.. ma per quanto riguarda le probabilità come faccio? non mi dice se sono indipendenti o no se lo fossero potrei moltiplicarle.. ma non lo dice
E un'altra domanda che non centra niente in questo caso
se la covarianza mi viene 0 questo non implica il fatto che siano indipendenti giusto??
$3$ volte. Siano $NT$ e $NC$ rispettivamente il numero di teste e di croci
uscite. Calcolate il valore atteso e la varianza di $X = (NT) /3$ e di
$Y = (NC)/3$. Calcolate il coefficiente di correlazione tra (X) ed (Y).
Allora mi scrivo la legge di X e la legge di Y. Che dovrebbero esse leggi binomiali quindi $E[x] = n*p$
$n = 3$ $ p =1/3$
quindi
SPERANZA
$E[(NT)/3] = 1/3E[NT] = 1/3 (n*p) = 1/3$ (se ho fatto giusto)
$E[(NC)/3] = 1/3E[NC] = 1/3 (n*p) = 2/3$
VARIANZA
$VAR[(NT)/3] = 1/3 VAR[NT] = (n*p)* (1-p) = 2/3 $
$VAR[(NT)/3] = 1/3 VAR[NT] = (n*p)* (1-p) =1/3 $
però non sono sicura che per la varianza
valga il fatto che $VAR(a*X) = a*VAR(X)$
E' giusto fatto così???
Poi devo calcolare il coefficiente di correlazione
$ Sx,y = (cov(X,Y))/(sqrt(VAR(X)*VAR(Y))$
il mio problema sta nel calcolare la covarianza che si trova
$cov(X,Y) = E[X*Y] - E[X] * E[Y]$
in particolare nel trovare $ E[X*Y]$ ??? per prima cosa posso fare una tabella con scritti i valori di X e di Y e poi moltiplicarli.. ma per quanto riguarda le probabilità come faccio? non mi dice se sono indipendenti o no se lo fossero potrei moltiplicarle.. ma non lo dice
E un'altra domanda che non centra niente in questo caso
se la covarianza mi viene 0 questo non implica il fatto che siano indipendenti giusto??
Risposte
"SaraBi":
però non sono sicura che per la varianza
valga il fatto che $VAR(a*X) = a*VAR(X)$
Infatti non vale... invece è $Var(a*X+b)=a^2*Var(X)$, vedi ad esempio qui.
"SaraBi":
E un'altra domanda che non centra niente in questo caso
Giusto, covarianza nulla implica solo che c'è indipendenza lineare, ma in generale possono esserci altre forme di dipendenza.
Viceversa, se sono indipendenti senz'altro la covarianza è nulla.
Ok quindi
$VAR[X] = 2/9$ e $ VAR[Y] = 1/9$
e per quanto diguarda $ E[X*Y] $ come calcolo le varie probabilità? non posso fare $E[X] * E[Y]$ perchè non so se sono indipendenti???
$VAR[X] = 2/9$ e $ VAR[Y] = 1/9$
e per quanto diguarda $ E[X*Y] $ come calcolo le varie probabilità? non posso fare $E[X] * E[Y]$ perchè non so se sono indipendenti???
"SaraBi":
$VAR[X] = 2/9$ e $ VAR[Y] = 1/9$
Non mi tornano questo risultati, ricontrolla i calcoli (dovrebbero venire entrambi $2/27$)
"SaraBi":
e per quanto diguarda $ E[X*Y] $ come calcolo le varie probabilità?
$E[X*Y]=E[(NT)/3*(NC)/3]=...$ continua te..
"cenzo":
Non mi tornano questo risultati, ricontrolla i calcoli (dovrebbero venire entrambi $2/27$)
Ok mi ero persa un n, gli ho controllati e mi torna!!
Allora i possibili risultati di $X*Y$ possono essere $0,1,2,3,4,6,9$ (facendo la tabella con le moltiplicazioni)
ma posso fare $ E[X*Y] = E[X] * E[Y]$???
sennò mi calcolo le probabilità pensando quante volte mi possono uscire ad esempio 1 testa e 2 croci?($3/8$)
quindi $P[X*Y=2] = 3/8$ e così per le altre?
"SaraBi":
Allora i possibili risultati di $X*Y$ possono essere $0,1,2,3,4,6,9$
Questo non mi torna. La moneta è una sola, non sono due.
La lancio 3 volte. Se ho zero teste allora ho avuto 3 croci. Se ho 1 testa allora ho avuto 2 croci e così via (altri due casi).
In pratica è $NC=3-NT$ Ti torna ?
"SaraBi":
ma posso fare $ E[X*Y] = E[X] * E[Y]$???
No. Non sai che sono indipendenti. Anzi.. il fatto che $NC=3-NT$ ci fa capire che sono fortemente legate le due variabili...
[size=75]edit: corretto errore in una formula (avevo invertito i termini nella sottrazione)[/size]
Allora i possibili risultati di $X*Y$ possono essere $0,1,2,3,4,6,9$
Questo non mi torna. La moneta è una sola, non sono due.
La lancio 3 volte. Se ho zero teste allora ho avuto 3 croci. Se ho 1 testa allora ho avuto 2 croci e così via (altri due casi).
In pratica è $NC=NT-3$ Ti torna ?
quindi devo fare una sorta di speranza condizionata? Ossia
$E[X*Y] = E[X*Y|Y = 0] P[Y=0]+E[X*Y|Y = 1] P[Y=1]+E[X*Y|Y = 2] P[Y=2] +E[X*Y|Y=3]P[Y=3]$
poi sostituisco la Y essendo condizionata
$= E[X|Y = 1] P[Y=1]+E[2X|Y = 2] P[Y=2] + E[3X|Y=3] P[Y=3]$
In pratica è $NC=3-NT$ Ti torna ?
non avevo visto questo!
quindi
$ 1/9 E[NT(3-NT)] = 1/9[0 (2/8) + 2 (6/8)] = 1/9 * 3/2 = 1/6$ ??
"SaraBi":
$ 1/9 E[NT(3-NT)] = 1/9[0 (2/8) + 2 (6/8)] = 1/9 * 3/2 = 1/6$ ??
Non ho compreso come escono quei numeri.
1) Un possibile approccio è questo:
$E[X*Y]=1/9*E[NT*NC]=1/9*E[NT*(3-NT)]$
$E[NT*(3-NT)]=E[3NT-NT^2]=3E[NT]-E[NT^2]$
Sappiamo che $E[NT]=1$ e che $Var[NT]=2/3$
Sfruttando una nota proprietà della varianza: $Var[NT]=E[NT^2]-E[NT]^2->E[NT^2]=Var[NT]+E[NT]^2=2/3+1^2=5/3$
Quindi alla fine $E[NT*NC]=3E[NT]-E[NT^2]=3*1-5/3=4/3$ e $E[X*Y]=1/9*4/3=4/27$.
2) Un altro approccio possibile è quello che avevi iniziato prima con la speranza condizionata
"SaraBi":
quindi devo fare una sorta di speranza condizionata? Ossia
$E[X*Y] = E[X*Y|Y = 0] P[Y=0]+E[X*Y|Y = 1] P[Y=1]+E[X*Y|Y = 2] P[Y=2] +E[X*Y|Y=3]P[Y=3]$
Intanto abbiamo sempre $E[X*Y]=1/9*E[NT*NC]$
$E[NT*NC] = E[NT*NC|NC=0]*P[NC=0]+E[NT*NC|NC=1]*P[NC=1]+E[NT*NC|NC=2]*P[NC=2]+E[NT*NC|NC=3]*P[NC=3]$
Tenendo conto che $NT=3-NC$ si ha:
$E[NT*NC] = E[3*0]*P[NC=0]+E[2*1]*P[NC=1]+E[1*2]*P[NC=2]+E[0*3]*P[NC=3]=2*P[NC=1]+2*P[NC=2]=2*2/9+2*4/9=4/3$
in cui ho tenuto conto che $P(NC=1)=((3),(1))(2/3)^1(1-2/3)^2=2/9$ e $P(NC=2)=((3),(2))(2/3)^2(1-2/3)^1=4/9$
Grazie mille!
Grazie mille!
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