Bosoni e livelli energetici

[Sk_Anonymous]

IL PRINCIPIO DI INDISTINGUIBILITA' DELLE PARTICELLE IDENTICHE
Un gruppo di bosoni (particelle subatomiche a spin intero) si distribuiscono su un certo numero di livelli quantistici
tutti di uguale energia, quindi equiprobabili per ciascuno dei bosoni.
Si chiede di dimostrare che coincidono le due seguenti probabilità:

A) che M bosoni, distribuendosi su N livelli, lascino almeno un livello non occupato;
B) che N bosoni, distribuendosi su M livelli, occupino almeno un livello più di una volta.

NOTA. L'unica cosa che occorre sapere circa i bosoni è che, essendo particelle identiche, non è possibile distinguerle.
Per esempio le permutazioni di 7 bosoni non sono 7! ma una sola, perchè scambiare due bosoni tra loro non produce nessuna vera differenza nella realtà fisica, non costituisce cioè un'altra possibilità, distinta dalla prima.
Tale è la controintuitività della meccanica quantistica!
E questo non è niente rispetto ad altri aspetti paradossali che la caratterizzano!
Ma tutto ciò ora qui non ci interessa.

[Cheguevilla]

Naturalmente, se $M Sappiamo che in entrambi i casi, i casi possibili sono le combinazioni con ripetizione dei livelli sui bosoni.
$((N+M-1),(M))$ nel primo caso, $((N+M-1),(N))$ nel secondo.
Il punto A può essere calcolato come il complemento del caso in cui tutti i livelli siano occupati.
I casi in cui tutti gli elementi sono occupati sono le combinazioni con ripetizione degli $N$ livelli tra gli $M-N$ bosoni rimasti.
Quindi, saranno $((N+M-N-1),(M-N))=((M-1),(M-N))=((M-1),(N-1))$.
$P(A)=1-(((M-1),(N-1)))/(((N+M-1),(M)))$


Il caso B è verificato se e solo se gli $N$ bosoni sono distribuiti su $N-1$ livelli.
Si calcolano tutti i modi in cui $N$ bosoni possono essere distrubuiti su $N-1$ livelli, ovvero attraverso le combinazioni con ripetizione come visto sopra, per poi moltiplicare il risultato ottenuto per $((M),(N-1))$, ovvero tutti i modi possibili in cui possono essere scelti gli $N-1$ livelli.
Quindi, $P(B)=(((2N-2),(N))((M),(N-1)))/(((N+M-1),(N)))$



Ora, supponendo che quanto sopra sia corretto, è necessario un po' di sforzo di fantasia (e di capacità analitiche) per rimettere in ordine il tutto.

Attraverso le proprietà dei coefficienti binomiali, si può arrivare a dire che $P(A)=(((N+M-1),(M))-((M-1),(N-1)))/(((N+M-1),(M)))=(((N+M-1),(N-1))-((M-1),(N-1)))/(((N+M-1),(N-1)))$, ma non è che la cosa abbia un aspetto molto migliore.
A prima vista, trovo difficile che le due quantità siano uguali, quindi tendo a pensare di avere commesso qualche errore.

[Sk_Anonymous]

Cheguevilla scripsit:
"Il caso B è verificato se e solo se gli N bosoni sono distribuiti su N-1 livelli. "
-----------------------------------------------------------------------------------------
No, il caso B è verificato quando esiste almeno un livello con più bosoni che lo occupano.
Ciò può accadere non solo quando gli N bosoni occupano N-1 livelli, ma, a fortiori, anche se ne occupano N-2, N-3, etc.
Per esempio, se tutti i bosoni stanno su uno solo degli M livelli, a noi ci sta bene pure questo.
Sicuramente, però, i bosoni non potranno occupare più di N-1 livelli.

Intanto, conviene forse ribadire che, se i bosoni fossero più dei livelli, allora sarebbe $p(B)=1$. Giusto?
Bene, allora basterà considerare il caso in cui ci sono più livelli che bosoni (M>N).
A questo punto, come sopra, conviene ragionare a rovescio e chiedersi:
Quanti modi ci sono per occupare gli M livelli, tali che ogni livello sia occupato o da un solo bosone o da nessun bosone?
A te la palla. Intanto complimenti per la prima risposta, che è splendidamente esatta.

[Cheguevilla]

"seascoli":No, il caso B è verificato quando esiste almeno un livello con più bosoni che lo occupano.
Ciò può accadere non solo quando gli N bosoni occupano N-1 livelli, ma, a fortiori, anche se ne occupano N-2, N-3, etc.
Per esempio, se tutti i bosoni stanno su uno solo degli M livelli, a noi ci sta bene pure questo.

Si, ma calcolando le combinazioni con ripetizione, non sono inclusi anche questi casi?

Intanto, conviene forse ribadire che, se i bosoni fossero più dei livelli, allora sarebbe $p(B)=1$. Giusto?
Bene, allora basterà considerare il caso in cui ci sono più livelli che bosoni (M>N).

Si, infatti la premessa che ho fatto all'inizio del post è generale: se $M

Cita

Segnala

[Sk_Anonymous]

La tua risposta viene sbagliata per un motivo ben preciso, cioè per il fatto che tu conti come distinte distribuzioni di bosoni del tutto identiche fra loro.
Per chiarire il tuo errore facciamo un esempio: 5 bosoni su 6 livelli.
Allora tu dici: prendiamo tutti le possibili quaterne di livelli (4=5-1) e fissata una quaterna contiamo quante distribuzioni dei 5 bosoni sono possibili su questi 4 livelli. Bene, poi prendiamo un'altra delle 15 possibili quaterne (6 livelli presi a 4 a 4) e ce ne saranno altrettante. E così via. L'errore sta nel fatto che non puoi sommare tutti questi modi, perchè così una stessa distribuzione ti figura più volte. Per essere ancora più chiari, considera la seguente distribuzione di 5 bosoni sui 6 livelli
Livello n. 1 2 3 4 5 6
Bosoni : 0 0 2 3 0 0
Questa stessa distribuzione viene da te conteggiata (almeno) 2 volte, cioè sia quando la quaterna di livelli che scegli è
Livelli occupati n. 1-2-3-4 con rispettivamente 0-0-2-3 bosoni
sia quando la quaterna è
Livelli occupati n. 3-4-5-6 con rispettivamente 2-3-0-0 bosoni
Non so se sono stato chiaro.
Se non sei ancora convinto, fa un esempio ancora più semplice: 4 livelli e 3 bosoni.
Vedrai che la tua formula sopravvaluta gravemente il numero di casi favorevoli. Essa dà infatti:
$ ((4),(3))((4),(2))= 24$.
Ma i casi possibili, sempre usando l'altra tua formula (quella a denomiantore, che è giusta) , sono solo:
$((4+3-1),(3)) = 20$.
Eccoli infatti i 20 casi suddetti:
4 casi del tipo 0-0-0-3 , 6 casi del tipo 0-0-1-2, altrettanti del tipo 0-0-2-1, e 4 del tipo 0-1-1-1.
Incidentalmente, si vede che fra i 20 casi, quelli favorevoli sono tutti tranne gli ultimi 4, cioè 16 e non 24, come si ottiene usando la tua formula.
Non ti dice nulla il fatto che i casi sfavorevoli siano esattamente 4, cioè proprio $((M),(N))$?
A presto!

[Cheguevilla]

Si, non avevo pensato che effettivamente, le combinazioni semplici dei livelli sui bosono corrispondono al numero di estrazioni, quindi sono tutti e soli i modi in cui si possono combinare i bosoni tra i livelli disponibili senza ripetersi.
Ora sono in ufficio e non riesco a mettermi a scartoffiare coefficienti binomiali (potrebbero chiedermi cosa diavolo c'entrino con il mio lavoro) ma quando torno a casa vedo di semplificare le due espressioni.

[Sk_Anonymous]

Hint
1) $((M),(N))=M/N((M-1),(N-1))$
2) $((M+N-1),(N))=M/N((M+N-1),(M)) $