Bloccato su es sulle distribuzioni discrete

[unit1]

Salve,
Vi posto prima il testo dell'esercizio poi il mio tentativo di svolgerlo:

Sia dato un numero aleatorio $X$ con codominio ${x_1 = 1, x_2 = 3, x_3 = 5, x_4 = ? }$ con probabilità rispettive
${p_1 = 1/10, p_2 = 1/5, p_3 = 3/10, p_4= ?}$, e con previsione $P(X)=5$.
Calcolare la varianza del numero aleatorio $Y=3X+2$

suggerimento: poiché la somma delle probabilità deve essere pari a $1$, si ha che $p_4$ è pari a...

(risultato: $var(Y)=36$)

Mio tentativo:
per prima cosa troviamo $p_4$ facendo $1- (1/10 + 1/5 + 3/10)=x$ convertendo poi in $1- (1/10 + 2/10 + 3/10)=x$ e trovando che $p_4 = 4/10 = 2/5 $

per trovare $x_4$ possiamo usare la formula della previsione (il la scrivo con $E$)
$E(X)=\sum_{x} x*Pr(X=x)$
quindi $1/10 * 1 + 1/5 * 3 + 3/10 * 5 + 2/5 * x = 5 $
$1/10+6/10+15/10+4/10*x=5$
e qui non so come andare avanti..

poi dopo aver calcolato $x_4$
dovrei utilizzare la formula $var(X)=E[X^2]-E[X]^2$ ma come calcolo Y?

[frapippo1]

"unit1":per trovare x4 possiamo usare la formula della previsione (il la scrivo con E)
E(X)=∑xx⋅Pr(X=x)
quindi 110⋅1+15⋅3+310⋅5+25⋅x=5
110+610+1510+410⋅x=5
e qui non so come andare avanti..

Hai un'equazione lineare in una incognita, per cui puoi calcolarti semplicemente $x_4$.
Per la definizione di varianza, hai che $Var(Y)=E(Y-E(Y))^2=E(3X+2-3E[X]-2)^2=9E(X-E[X])^2=9Var(X)$.
Ora, $Var(X)=(x_1-E[X])^2p_1+(x_2-E[X])^2p_2+(x_3-E[X])^2p_3+(x_4-E[X])^2p_4$

[retrocomputer]

"frapippo":
Ora, $Var(X)=(x_1-E[X])^2p_1+(x_2-E[X])^2p_2+(x_3-E[X])^2p_3+(x_4-E[X])^2p_4$

O anche $Var(X)=x_1^2p_1+x_2^2p_2+x_3^2p_3+x_4^2p_4-(E[X])^2$.