Binomiale negativa
Ho questo esercizio:
Supponiamo di avere due urne contenenti 4 palline nere e 6 bianche la prima e 3 palline nere la seconda. Si proceda come segue: estraiamo in blocco 2 palline dalla prima urna e le mettiamo nella seconda, dopo estraiamo dalla seconda urna delle palline con reimmissione fino ad avere 2 palline nere. Sia $ X $ la v.a. che conta il numero di estrazioni successive dalla seconda urna. Quali sono i possibili valori che la variabile aleatoria $ X $ assume? E con quale probabilità?
Io lo risolverei così:
Chiamo:
$ A_1 $ l'evento estraggo 2 palline bianche dalla prima urna;
$ A_2 $ l'evento estraggo 2 palline nere dalla prima urna;
$ A_3 $ l'evento estraggo 1 pallina bianca e 1 nera dalla prima urna.
e calcolo le relative probabilità con la distribuzione ipergeometrica:
$ p(A_1)= \frac {((6),(2))*((4),(0))}{((10),(2))}=\frac {1}{3} $
$ p(A_2)= \frac {((4),(2))*((6),(0))}{((10),(2))}=\frac {2}{15} $
$ p(A_3)= \frac {((4),(1))*((6),(1))}{((10),(2))}=\frac {8}{15} $
A questo punto uso la regola della probabilità totale per calcolare la probabilità di pescare 1 pallina nera dalla seconda urna: chiamo tale evento $ B $:
$ p(B)=p(B|A_1)*p(A_1)+p(B|A_2)*p(A_2)+p(B|A_3)*p(A_3)=\frac{19}{25}=0.76 $
Ora per rispondere ai quesiti del problema devo valcolare qual è la distribuzione della v.a. $ X $. Si tratta a mio parere di una distribuzione binomiale negativa per la quale vale la seguente formula:
$ P(X=n)=((n-1),(r))*p^{r}*(1-p)^{n-r} $
Nel nostro caso $ p=0.76 $ e $ r=2 $.
Quindi:
$ P(X=n)=((n-1),(1))*(0.76)^{2}*(0.24)^{n-2} $
Per rispondere dunque alle domande poste dal problema direi che la v.a. $ X $ può assumere un'infinità numerabile di valori con la distribuzione sopra riportata.
Siccome l'esercizio non riportava il risultato, il mio ragionamento può andare bene?
Grazie.
Supponiamo di avere due urne contenenti 4 palline nere e 6 bianche la prima e 3 palline nere la seconda. Si proceda come segue: estraiamo in blocco 2 palline dalla prima urna e le mettiamo nella seconda, dopo estraiamo dalla seconda urna delle palline con reimmissione fino ad avere 2 palline nere. Sia $ X $ la v.a. che conta il numero di estrazioni successive dalla seconda urna. Quali sono i possibili valori che la variabile aleatoria $ X $ assume? E con quale probabilità?
Io lo risolverei così:
Chiamo:
$ A_1 $ l'evento estraggo 2 palline bianche dalla prima urna;
$ A_2 $ l'evento estraggo 2 palline nere dalla prima urna;
$ A_3 $ l'evento estraggo 1 pallina bianca e 1 nera dalla prima urna.
e calcolo le relative probabilità con la distribuzione ipergeometrica:
$ p(A_1)= \frac {((6),(2))*((4),(0))}{((10),(2))}=\frac {1}{3} $
$ p(A_2)= \frac {((4),(2))*((6),(0))}{((10),(2))}=\frac {2}{15} $
$ p(A_3)= \frac {((4),(1))*((6),(1))}{((10),(2))}=\frac {8}{15} $
A questo punto uso la regola della probabilità totale per calcolare la probabilità di pescare 1 pallina nera dalla seconda urna: chiamo tale evento $ B $:
$ p(B)=p(B|A_1)*p(A_1)+p(B|A_2)*p(A_2)+p(B|A_3)*p(A_3)=\frac{19}{25}=0.76 $
Ora per rispondere ai quesiti del problema devo valcolare qual è la distribuzione della v.a. $ X $. Si tratta a mio parere di una distribuzione binomiale negativa per la quale vale la seguente formula:
$ P(X=n)=((n-1),(r))*p^{r}*(1-p)^{n-r} $
Nel nostro caso $ p=0.76 $ e $ r=2 $.
Quindi:
$ P(X=n)=((n-1),(1))*(0.76)^{2}*(0.24)^{n-2} $
Per rispondere dunque alle domande poste dal problema direi che la v.a. $ X $ può assumere un'infinità numerabile di valori con la distribuzione sopra riportata.
Siccome l'esercizio non riportava il risultato, il mio ragionamento può andare bene?
Grazie.
Risposte
Così a primo acchitto mi sembra ci sia un errore.
"DajeForte":
Così a primo acchitto mi sembra ci sia un errore.
Nei calcoli o nel ragionamento?
Nel ragionamento.
Se vuoi indizi chiedi
Se vuoi indizi chiedi
"DajeForte":
Nel ragionamento.
Se vuoi indizi chiedi
In quale punto?
Il ragionamento sulle probabilità totali che hia fatto per trovare $P(B)$ lo devi fare a $P(X=n)$
"DajeForte":
Il ragionamento sulle probabilità totali che hia fatto per trovare $P(B)$ lo devi fare a $P(X=n)$
In effetti avevo avuto questo dubbio, ma non sapevo come applicarlo. Ci provo:
$ P(X=n)=P(X=n|A_1)*P(A_1)+P(X=n|A_2)*P(A_2)+P(X=n|A_3)*P(A_3) = ((n-1),(1))*(3/5)^{2}*(2/5)^{n-2}*1/3+((n-1),(1))*(1)^{2}*(0)^{n-2}*2/15+((n-1),(1))*(4/5)^{2}*(1/5)^{n-2}*8/15= $
$ =(n-1)*(1/5)^{n-2}*(18/75+128/375)=(n-1)*(1/5)^{n-2}*218/375 $
Potrebbe avere senso?
Non ho fatto i conti ma pare giusto.
Vedila così quello che avevi calcolato te era la distribuzione se:
fai la prima estrazione per comporre la seconda urna;
fai la seconda estrazione di una sola pallina e vedi di che colore è;
ora ricomponi le due urne come all'inizio e ripeti la procedura.
Per chiarire meglio vedile con la binomiale "diretta"
fai la composizione dell'urna due come nel tuo esercizio;
poi fai due estrazioni con reimmissione dall'urna ottenuta;
questa probabilità non è $p^2$ ($p$ quella da te definita) perchè una volta che ti si è composta l'urna dalla quale vai a fare estrazioni bernoulliane
continui con quella.
Spero di essere stato chiaro
Se dubbi barra correzioni
tell me
Vedila così quello che avevi calcolato te era la distribuzione se:
fai la prima estrazione per comporre la seconda urna;
fai la seconda estrazione di una sola pallina e vedi di che colore è;
ora ricomponi le due urne come all'inizio e ripeti la procedura.
Per chiarire meglio vedile con la binomiale "diretta"
fai la composizione dell'urna due come nel tuo esercizio;
poi fai due estrazioni con reimmissione dall'urna ottenuta;
questa probabilità non è $p^2$ ($p$ quella da te definita) perchè una volta che ti si è composta l'urna dalla quale vai a fare estrazioni bernoulliane
continui con quella.
Spero di essere stato chiaro
Se dubbi barra correzioni
tell me
"DajeForte":
Spero di essere stato chiaro
Se dubbi barra correzioni
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Credo di avere capito. Ti ringrazio per la pazienza.
Buonanotte.
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