Assenza di memoria della legge esponenziale
Ciao, oggi ho provato a cimentarmi nel seguente esercizio, ma senza successo... Si tratta di una proprietà simile ma più forte dell'assenza di memoria della legge esponenziale e pare che ne esista una versione ancora più forte che non richiede che $Y$ abbia densità.
Esercizio. Sia $X$ una variabile aleatoria di legge esponenziale di parametro $\lambda$ e sia $Y$ una variabile aleatoria indipendente da $X$, con legge definita dalla densità $f$ e tale che $P(Y\geq 0)>0$. Allora risulta
$P(X\geq Y+t|X>Y,\ Y\geq 0)=P(X\geq t)=e^{-\lambda t}$.
Come suggerimento ho... Di non usare il concetto di legge condizionale, perché non l'ho studiato
Per la soluzione ho inizialmente pensato alla convoluzione, visto che $X$ e $Y$ sono indipendenti e ne utilizzo la differenza, ma poi finisco per avere una densità definita da un integrale con la $f$ di cui non so niente e che non so come eliminare...
Poi ho provato con il cambio di variabile $(X,Y)\to (X-Y,Y)$, visto che mi serve proprio calcolare la probabilità dell'intersezione di due eventi delle $\sigma$-algebre generate da $X-Y$ e da $Y$, ma anche qui non vedo il modo di isolare la $f$, forse perché non mi viene in mente il modo, o, più facilmente, non è il metodo giusto...
Qualche idea?
Esercizio. Sia $X$ una variabile aleatoria di legge esponenziale di parametro $\lambda$ e sia $Y$ una variabile aleatoria indipendente da $X$, con legge definita dalla densità $f$ e tale che $P(Y\geq 0)>0$. Allora risulta
$P(X\geq Y+t|X>Y,\ Y\geq 0)=P(X\geq t)=e^{-\lambda t}$.
Come suggerimento ho... Di non usare il concetto di legge condizionale, perché non l'ho studiato
Per la soluzione ho inizialmente pensato alla convoluzione, visto che $X$ e $Y$ sono indipendenti e ne utilizzo la differenza, ma poi finisco per avere una densità definita da un integrale con la $f$ di cui non so niente e che non so come eliminare...
Poi ho provato con il cambio di variabile $(X,Y)\to (X-Y,Y)$, visto che mi serve proprio calcolare la probabilità dell'intersezione di due eventi delle $\sigma$-algebre generate da $X-Y$ e da $Y$, ma anche qui non vedo il modo di isolare la $f$, forse perché non mi viene in mente il modo, o, più facilmente, non è il metodo giusto...
Qualche idea?
Risposte
Ciao retrò,
non so aiutarti purtroppo.
Solo trovo simpatica questa proprietà. In pratica sarebbe mancanza di memoria rispetto ad una distribuzione?
PS: chi è $U$?
non so aiutarti purtroppo.
Solo trovo simpatica questa proprietà. In pratica sarebbe mancanza di memoria rispetto ad una distribuzione?
PS: chi è $U$?
$U$ è... Un errore Ho corretto, è $Y$, grazie! 
In pratica l'assenza di memoria "banale" si può scrivere così:
$ P(X\geq y+t|X>y)=P(X\geq t)=e^{-\lambda t} $
(questa si vede subito sviluppando la probabilità condizionata)
e se al posto del numero positivo $y$ ci metti una variabile aleatoria $Y$ indipendente da $X$ a valori positivi e definita da una densità, vale ancora l'assenza di memoria, e lo stesso nel caso leggermente più generale dell'esercizio.
Ho corretto, è $Y$, grazie! In pratica l'assenza di memoria "banale" si può scrivere così:
$ P(X\geq y+t|X>y)=P(X\geq t)=e^{-\lambda t} $
(questa si vede subito sviluppando la probabilità condizionata)
e se al posto del numero positivo $y$ ci metti una variabile aleatoria $Y$ indipendente da $X$ a valori positivi e definita da una densità, vale ancora l'assenza di memoria, e lo stesso nel caso leggermente più generale dell'esercizio.
Qualche idea fresca per questo vecchio esercizio rimasto irrisolto?
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