AR vs ARMA differenze

[Marchello89]

Secondo la rappresentazione di Wold è possibile esprimere un qualsiasi processo stocastico come combinazione lineare di processi rumore bianco, attraverso quindi un modello a media mobile. Ora, si può ottenere la rappresentazione di un MA di ordine infinito a partire dal reciproco di un AR di ordine 1. Quello che mi chiedo se è possibile realizzare tutto tramite un AR perché sono così utilizzati i modelli ARMA? Grazie mille

[markowitz]

"Marchello89":Secondo la rappresentazione di Wold è possibile esprimere un qualsiasi processo stocastico come combinazione lineare di processi rumore bianco, attraverso quindi un modello a media mobile.

Processo stocastico non qualsiasi ma che sia, come condizione minima, debolmente stazionario.

"Marchello89":Quello che mi chiedo se è possibile realizzare tutto tramite un AR perché sono così utilizzati i modelli ARMA? Grazie mille

Almeno in linea teorica, per questioni di parsimonia (meno parametri). Peraltro gli ARMA sono molto studiati ma a livello pratico mi sembra che siano proprio gli AR ad essere più diffusi.

[Marchello89]

"markowitz":[
Processo stocastico non qualsiasi ma che sia, come condizione minima, debolmente stazionario.

Sì per la fretta ieri traducendo dall'inglese qualcosa mi è scappato.
Quindi teoricamente per economia di parametri vengono usati gli AR e gli ARMA, quello che non riesco a spiegarmi è: se un AR in termini di parametri è più vantaggioso di un ARMA perché usare un modello misto?
Evidentemente non sempre è possibile identificare un modello solo tramite la parte AR ma c'è necessariamente bisogno della parte MA, suppongo che abbia a che fare con le ipotesi di inveribilità di un modello AR, però di più non so dire. Inoltre mi è stato detto che può capitare che un modello ARMA possa essere più parsimonioso in termini di parametri. Come si spiega?

[markowitz]

Si parlava di teorema di Wold che ti dice come un $AR(p)$ stazionario sia rappresentabile con un $MA(oo)$.
Per converso un $MA(q)$ invertibile (l'invertibilità riguarda la parte MA non quella AR) è rappresentabile con un $AR(oo)$.
In sostanza se le solite condizioni di regolarità del processo stocastico sono rispettate puoi sempre trovare sia una rappresentazione pura $AR$ che una pura $MA$ ma in generale è quella mista $ARMA$ ad essere più parsimoniosa.