Approssimazione normale con la correzione di continuità
Salve a tutti,
vi volevo fare una domanda riguardo l'approssimazione normale con la correzione di continuità.
Da quello che ho capito, si tratta di aggiungere uno $0.5$ agli estremi della distribuzione discreta che sto approssimando con una distribuzione Normale/Gaussiana, poiché nel compiere questa approssimazione sottostimo il risultato, e quindi l'aggiunta di questa mezza unità mi aiuta ad ottenere una stima più precisa.
Ora però, facendo degli esercizi, mi sono imbattuto in un caso in cui non riesco a capire perché la soluzione non usi la correzione di continuità quando approssima la Binomiale a una Normale.
Il testo, riassunto, è il seguente:
è noto che un macchinario produce aste di acciaio. Le aste di lunghezza minore di 185 cm sono però da
scartare. La probabilità che un'asta non sia idonea è $p=0.0067$.
Calcolare la probabilità che in una produzione di 100 aste ve ne siano non più di 6 da scartare.
Il procedimento che ho svolto è associare ad ogni asta una variabile aleatoria $X_i$ Bernoulliana di parametro $p$, e definire $S_100 = 1/100(X_1+...+X_100)$.
Poi ho ricavato che il valor medio di $S_100$ è $ mu = p*n $ (dove $n = 100$), e la sua varianza è $sigma^2 = n*p(1-p)$, per usarli nel passaggio da Binomiale a Normale tramite il teorema del limite centrale.
A questo punto mi calcolo la probabilità che $P(S_100 <= 6) $. Qui sorge il mio dubbio: in questo caso devo applicare la correzione di continuità, e quindi calcolare la probabilità $P(S_100 <= 6.5) $ oppure no? Avendo letto la definizione di Correzione di Continuità il mio istinto sarebbe quello di applicarla, poiché sto passando da una distribuzione Binomiale, quindi discreta, ad una Normale/Gaussiana che è invece continua. La mia professoressa però nella soluzione, in questo caso, calcola direttamente $P(S_100 <= 6)$, come mai?
Grazie in anticipo a chi mi potrà aiutare
vi volevo fare una domanda riguardo l'approssimazione normale con la correzione di continuità.
Da quello che ho capito, si tratta di aggiungere uno $0.5$ agli estremi della distribuzione discreta che sto approssimando con una distribuzione Normale/Gaussiana, poiché nel compiere questa approssimazione sottostimo il risultato, e quindi l'aggiunta di questa mezza unità mi aiuta ad ottenere una stima più precisa.
Ora però, facendo degli esercizi, mi sono imbattuto in un caso in cui non riesco a capire perché la soluzione non usi la correzione di continuità quando approssima la Binomiale a una Normale.
Il testo, riassunto, è il seguente:
è noto che un macchinario produce aste di acciaio. Le aste di lunghezza minore di 185 cm sono però da
scartare. La probabilità che un'asta non sia idonea è $p=0.0067$.
Calcolare la probabilità che in una produzione di 100 aste ve ne siano non più di 6 da scartare.
Il procedimento che ho svolto è associare ad ogni asta una variabile aleatoria $X_i$ Bernoulliana di parametro $p$, e definire $S_100 = 1/100(X_1+...+X_100)$.
Poi ho ricavato che il valor medio di $S_100$ è $ mu = p*n $ (dove $n = 100$), e la sua varianza è $sigma^2 = n*p(1-p)$, per usarli nel passaggio da Binomiale a Normale tramite il teorema del limite centrale.
A questo punto mi calcolo la probabilità che $P(S_100 <= 6) $. Qui sorge il mio dubbio: in questo caso devo applicare la correzione di continuità, e quindi calcolare la probabilità $P(S_100 <= 6.5) $ oppure no? Avendo letto la definizione di Correzione di Continuità il mio istinto sarebbe quello di applicarla, poiché sto passando da una distribuzione Binomiale, quindi discreta, ad una Normale/Gaussiana che è invece continua. La mia professoressa però nella soluzione, in questo caso, calcola direttamente $P(S_100 <= 6)$, come mai?
Grazie in anticipo a chi mi potrà aiutare
Risposte
"oxigen27":
Il procedimento che ho svolto è associare ad ogni asta una variabile aleatoria $X_i$ Bernoulliana di parametro $p$, e definire $S_100 = 1/100(X_1+...+X_100)$.
Poi ho ricavato che il valor medio di $S_100$ è $ mu = p*n $ (dove $n = 100$), e la sua varianza è $sigma^2 = n*p(1-p)$, per usarli nel passaggio da Binomiale a Normale tramite il teorema del limite centrale.
Nel 2023 non potresti semplicemente usare la Binomiale e buonanotte?
"oxigen27":
A questo punto mi calcolo la probabilità che $P(S_100 <= 6) $. Qui sorge il mio dubbio: in questo caso devo applicare la correzione di continuità, e quindi calcolare la probabilità $P(S_100 <= 6.5) $ oppure no?
Io lo farei.
Siamo nel 2023. Perché non calcoli la risposta direttamente con la Binomiale, e poi con la normale con e senza la correzione per vedere cosa succede?
Onestamente anche nel 2000 o molto prima avei usato la Binomiale direttamente, credo.
Un attimo... 0.0067? Siamo sicuri?
La risposta non è "essenzialmente 1" con o senza la correzione? La probabilità di 0 difetti è maggiore di $0,5$. Non ho fatto i calcoli per $\le 6$. $np$ mi sembra troppo basso per usare l'approssimazione. Magari il valore è 0.067?
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