Approssimazione Gaussiana (2)

[vitomondelli]

2)si sa che una v.a. X ha una varianza $\sigma^2 = 4$, ma non se ne conosce l'attesa $\mu$: si eseguono $n = 64$ misure di X e se ne calcola la media Xn. Facendo uso dell'approssimazione normale, calcolare la probabilità $P{|bar(X)_n - \mu|>0.5}$ che il valore assoluto dello scarto fra media Xn e valore d'attesa $\mu$ superi 0.5.

Per il secondo esercizio ho cercato di applicare un ragionamento simile ma non mi viene nulla in mente su come trovarmi l'attesa. Suggerimenti?

[Lo_zio_Tom]

Nessuno ti chiede di calcolare $mu$

Suggerimento: che distribuzione ha (approssimativamente) la variabile $Z=4(bar(X)_(64)-mu)$ ??

Ps: per tenere la stanza in ordine preferisco che si posti un nuovo topic per ogni esercizio (l'altro va bene)

Grazie

[vitomondelli]

Ti rispondo dal lavoro. Credo sia una distribuzione normale o Gaussiana (come suggerisce il titolo del post ), purtroppo però non ho ben capito dove mi porta sapere questa cosa..

[Lo_zio_Tom]

"vitomondelli":purtroppo però non ho ben capito dove mi porta sapere questa cosa..

ti porta a vedere immediatamente che la richiesta dell'esercizio può essere riscritta così: calcolare la probabilità che

$P{|Z|>2}$ dove Z è una gaussiana std....e quindi consulti le tavole ed hai finito.

Sfruttando la simmetria della variabile in questione, la probabilità richiesta è infatti pari a $2*Phi(-2)=0.0455$

sapere quanto sia la media "vera" non ti interessa....stai calcolando l'area delle due code. La media $mu$ serve solo a traslare la distribuzione ma non ne modifica la forma.

[vitomondelli]

Quel $2$ di $P{|Z| > 2}$ è il valore di $\sigma$?

[Lo_zio_Tom]

"vitomondelli":Quel $2$ di $P{|Z| > 2}$ è il valore di $\sigma$?

No, coincide con $sigma$ ma per puro caso.

Il testo chiede di calcolare la seguente probabilità

$P{|(bar(X)_64-mu)|>1/2}$

Ora, dai dati sai che $E[bar(X)_64]=mu$ e $V[bar(X)_64]=1/16$

Quindi riscrivi il testo così:

$P{|4(bar(X)_64-mu)|>4*1/2}=P{|Z|>2}$

come puoi notare

$E[Z]=4*0=0$

mentre

$V[Z]=4^2V[bar(X)_64]=1$

per n sufficientemente grande posso approssimare la distribuzione ad una gaussiana.


fine

[vitomondelli]

L'unica cosa che ancora mi sfugge è il perchè ha moltiplicato per $4$ $P{|(\bar(X)_64-\mu)|>1/2}$

[Lo_zio_Tom]

In primis non mi pare affatto di aver moltiplicato $xx4$ la probabilità ma ho moltiplicato la variabile....e non è la stessa cosa.


In secundis, riprendendo questo TUO messaggio da un topic precedente

"vitomondelli": Guardando meglio la parte di teoria non ho trovato esempi da cui capirci di più ma solo la formula che sarebbe $\Phi((x-n\mu)/(\sigmasqrt(n)))$

e ricordando che in quella formula, come puoi controllare qui, $X$ è una somma, ovvero $Sigma_iX_i$.

Se nell'argomento della $Phi$ dividi sopra e sotto per $n$ trovi $(bar(X)-mu)/sigma sqrt(n)=(bar(X)-mu)/2 sqrt(64)=4(bar(X)-mu)$

che è sempre la stessa cosa......

[starwolf98]

"tommik":

Sfruttando la simmetria della variabile in questione, la probabilità richiesta è infatti pari a $2*Phi(-2)=0.0455$

Da dove esce il 2 che moltiplica Phi(-2)??

[Lo_zio_Tom]

"starwolf98":

Da dove esce il 2 che moltiplica Phi(-2)??

dalle proprietà di simmetria della Gaussiana Standard

$mathbb{P}{|Z|>2}=Phi(-2)+[1-Phi(2)]=Phi(-2)+Phi(-2)=2Phi(-2)$

cvd


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