Applicazione della Probabilità Totale e di Bayes
Sto tentando di risolvere questo esercizio
In una scatola ci sono un dado truccato, con la probabilità del 6 uguale a 0.5, e due dadi regolari.
Dalla scatola vengono estratti e lanciati due dadi.
A) Calcolare la probabilità di estrarre un dado truccato ed uno regolare.
B) Calcolare la probabilità di ottenere due 6.
C) Calcolare la probabilità di aver estratto un dado truccato, avendo ottenuto due 6.
Ecco il mio tentativo di risoluzione.
PUNTO A: ho pensato a quali potessero essere le possibili coppie estraibili; chiamando $R1$ e $R2$ i due dadi regolari e $T$ quello truccato, esse risultano essere: $R1-R2$, $R1-T$, $R2-T$.
Le coppie in totale sono tre, quelle che mi interessano sono le ultime due. Quindi, per il primo punto mi trovo correttamente $2/3$.
Questo valore l'ho ricavato "manualmente", nel senso che ho dovuto prima scrivere le coppie, prendere quelle che mi interessavano e dividere per il numero totale. Esiste una formula invece che mi dia subito tale risultato?
PUNTO B: ho pensato di applicare il teorema di probabilità totale, come segue
\(\displaystyle P(6,6) = P(6|DadoRegolare)P(DadoRegolare) + P(6|DadoTruccato)P(DadoTruccato) \)
ossia $P(6,6) = (1/6)(2/3) + (1/2)(1/3) = 1/9 + 1/6 = 15/54$ quando dovrebbe uscire $7/108$.
Dove sbaglio?
PUNTO C: ho pensato di applicare il teorema di Bayes, come segue
\(\displaystyle P(DadoTruccato|6,6) = \frac{P(6,6|DadoTruccato)P(DadoTruccato)}{P(6,6)} = \frac{(\frac{1}{2})^2(\frac{1}{3})}{(\frac{7}{108})} = \frac{9}{7}\)
dove con $P(6,6)$ ho usato la probabilità fornita come soluzione, ma il risultato è palesemente errato: dovrebbe uscire $6/7$.
Dove sbaglio?
Grazie.
In una scatola ci sono un dado truccato, con la probabilità del 6 uguale a 0.5, e due dadi regolari.
Dalla scatola vengono estratti e lanciati due dadi.
A) Calcolare la probabilità di estrarre un dado truccato ed uno regolare.
B) Calcolare la probabilità di ottenere due 6.
C) Calcolare la probabilità di aver estratto un dado truccato, avendo ottenuto due 6.
Ecco il mio tentativo di risoluzione.
PUNTO A: ho pensato a quali potessero essere le possibili coppie estraibili; chiamando $R1$ e $R2$ i due dadi regolari e $T$ quello truccato, esse risultano essere: $R1-R2$, $R1-T$, $R2-T$.
Le coppie in totale sono tre, quelle che mi interessano sono le ultime due. Quindi, per il primo punto mi trovo correttamente $2/3$.
Questo valore l'ho ricavato "manualmente", nel senso che ho dovuto prima scrivere le coppie, prendere quelle che mi interessavano e dividere per il numero totale. Esiste una formula invece che mi dia subito tale risultato?
PUNTO B: ho pensato di applicare il teorema di probabilità totale, come segue
\(\displaystyle P(6,6) = P(6|DadoRegolare)P(DadoRegolare) + P(6|DadoTruccato)P(DadoTruccato) \)
ossia $P(6,6) = (1/6)(2/3) + (1/2)(1/3) = 1/9 + 1/6 = 15/54$ quando dovrebbe uscire $7/108$.
Dove sbaglio?
PUNTO C: ho pensato di applicare il teorema di Bayes, come segue
\(\displaystyle P(DadoTruccato|6,6) = \frac{P(6,6|DadoTruccato)P(DadoTruccato)}{P(6,6)} = \frac{(\frac{1}{2})^2(\frac{1}{3})}{(\frac{7}{108})} = \frac{9}{7}\)
dove con $P(6,6)$ ho usato la probabilità fornita come soluzione, ma il risultato è palesemente errato: dovrebbe uscire $6/7$.
Dove sbaglio?
Grazie.
Risposte
B)
Nel primo quesito hai detto che la P che il dato truccato sia presente è pari a 2/3.
In questo caso, la P che escano due 6 è: $2/3 * 1/2 * 1/6$ = $2/36$
L'altro caso ( i due dadi sono entrambi regolari ) la p è di 1/3
In questo caso, la P che escano due 6 è: $1/3 * 1/6 * 1/6$ = $1/108$
ora, basta fare la somma dei due risultati.
Nel primo quesito hai detto che la P che il dato truccato sia presente è pari a 2/3.
In questo caso, la P che escano due 6 è: $2/3 * 1/2 * 1/6$ = $2/36$
L'altro caso ( i due dadi sono entrambi regolari ) la p è di 1/3
In questo caso, la P che escano due 6 è: $1/3 * 1/6 * 1/6$ = $1/108$
ora, basta fare la somma dei due risultati.
prima per il caso B) abbiamo detto che:
2/36 --> $6/108$ --> ci sta il dado truccato
$1/108$ --> non ci sta il dado truccato
come vedi la P che sia presente il dado truccato è 6 volte superiore: $6/(6+1)$
2/36 --> $6/108$ --> ci sta il dado truccato
$1/108$ --> non ci sta il dado truccato
come vedi la P che sia presente il dado truccato è 6 volte superiore: $6/(6+1)$
Grazie.
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