Ancora dubbi sull'assenza di memoria

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mobley
mobley
12 dic 2019, 15:42
Apro questo post sperando (tramite l'esempio che vi porto) di capire una volta per tutte come e quando applicare la proprietà di mancanza di memoria.

Un ladro dilettante valuta se riuscirà o meno a rubare in un certo negozio. I poliziotti passano fuori dal negozio secondo un processo di Poisson di tasso $\lambda$ al minuto. Se un poliziotto passa mentre il ladro sta rubando, questo verrà catturato.
a) se ci vogliono $s$ secondi per commettere un furto, qual'è la probabilità che il ladro venga catturato?
b) Ripeti il calcolo sotto l’ipotesi che occorrano due poliziotti presenti per poter arrestare il ladro.


Il punto b) manco l'ho guardato, mi sono concentrato a capire il punto a). Allora…
Fissato $T={$il ladro viene arrestato$}$ e $X={$tempo di passaggio dei poliziotti$}$, inizialmente avevo fatto:
$\mathbb(P)(T>0)=\mathbb(P)(X>s)=1-\mathbb(P)(X<=s)=1-[\mathbb(P)(X=s) uu \mathbb(P)(XSiccome $X~ Po(\lambda)rArr S(X)={\mathbb(N)}rArr \mathbb(P)(X
$...=1-\mathbb(P)(X=s)=1-(e^(-s/60)(s/60)^s)/(s!)$

Poi ho pensato che, in realtà, l'istante di inizio della rapina è un $t$ generico (nel senso che la rapina avviene nell'intervallo $(t,t+s)$), per cui non conta l'istante di inizio (e quindi per questo potrei anche assumere che $t=0$). Ciò significa che interviene la stramaledettissima assenza di memoria.
Quindi come cambia la soluzione che avevo scritto all'inizio?
[ot]Dopo quasi due mesi solo su 'sta materia gli esercizi riesco ad impostarli quasi tutti, tranne quelli con la Poisson. Questi mi mettono sempre in crisi maledizione :evil:[/ot]
Risposte
Lo_zio_Tom
Lo_zio_Tom
12 dic 2019, 15:34
"mobley":

[ot]Dopo quasi due mesi solo su 'sta materia gli esercizi riesco ad impostarli quasi tutti, tranne quelli con la Poisson. Questi mi mettono sempre in crisi maledizione :evil:[/ot]


mettiamola così: l'esercizio in questione [strike]NON è sulla poisson[/strike] si può anche risolvere senza la poisson

"mobley":

Quindi come cambia la soluzione che avevo scritto all'inizio?


intendi dire come cambia la soluzione mettendoci quella corretta? pensa, ad esempio, che il tempo per commettere un furto sia pari a $10pi$ secondi....tu cerchi di risolvere l'esercizio con una distribuzione discreta....it doesn't make sense!
mobley
mobley
12 dic 2019, 15:57
"tommik":
mettiamola così: l'esercizio in questione NON è sulla poisson

Intendevo gli esercizi su tempi di attesa, assenza di memoria, Poisson ed Esponenziali etc.
"tommik":
tu cerchi di risolvere l'esercizio con una distribuzione discreta....it doesn't make sense!

Giusto :roll: Ma allora non capisco... $X$ è discreta, non è un Esponenziale.
ghira1
ghira1
12 dic 2019, 16:01
Quanti poliziotti passano mentre il ladro sta commettendo il furto? Cioè qual è la distribuzione del numero di poliziotti che passano durante il furto?
mobley
mobley
12 dic 2019, 16:09
"ghira":
Quanti poliziotti passano mentre il ladro sta rubando il quadro? Cioè qual è la distribuzione del numero di poliziotti che passano durante il furto?

Non lo so e onestamente non capisco nemmeno l'utilità di stabilirlo. Qui stiamo cercando la probabilità che il tempo per mettere a segno il furto sia maggiore del tempo limite $s$, a cosa serve stabilire il numero di poliziotti che passano?
ghira1
ghira1
12 dic 2019, 16:12
Tempo limite? Se ho capito bene il furto dura esattamente $s$ secondi.
Lo_zio_Tom
Lo_zio_Tom
12 dic 2019, 16:15
Il tempo di interarrivo fra un poliziotto e l'altro è distribuito come un'esponenziale di media $1/lambda$ minuti, ovvero $60/lambda$ secondi. Quindi la probabilità che il ladro venga catturato è che il tempo di interarrivo fra un poliziotto e l'altro sia minore di $s$ secondi. In pratica $mathbb{P}[X
fine del punto a)

Per il punto b) uso una distribuzione di Erlang trovando subito (la CDF è nota)


$F_(t_2)(s)=1-e^(-(lambda s)/60)[1+(lambda s)/60]$

@ghira tu avresti fatto diversamente?
ghira1
ghira1
12 dic 2019, 16:17
Avrei detto in $s$ secondi il numero di poliziotti è distribuito secondo una Poisson con parametro $\frac{s\lambda}{60}$.

Nella prima versione, se passano 0 poliziotti, il ladro ce la fa. Viene catturato con probabilità $1-P(0 \text { poliziotti in }s\text{ secondi})$

Nella seconda versione, ce la fa se passano meno di 2 poliziotti altrimenti viene arrestato.
Lo_zio_Tom
Lo_zio_Tom
12 dic 2019, 16:22
mi pare sensato.

Quindi il ladro ce la fa se

$mathbb{P}[X=0]=e^(-lambda s/60)$

e quindi non ce la fa con probabilità $1-mathbb{P}[X=0]$


come la metti la metti il risultato è il medesimo

:smt023

@mobley: ora hai due strade differenti per arrivare al medesimo risultato....

"mobley":

$...=1-\mathbb(P)(X=s)=1-(e^(-s/60)(s/60)^s)/(s!)$



certo che sto $s!$ al denominatore fa venire i brividi... :smt068
ghira1
ghira1
12 dic 2019, 16:27
Non stavo certamente dicendo che tommik si sbagliava, solo che la mia prima reazione vedendo la domanda era "Poisson con parametro bla".
ghira1
ghira1
12 dic 2019, 18:35
"mobley":
Qui stiamo cercando la probabilità che il tempo per mettere a segno il furto sia maggiore del tempo limite $s$


Cosa ti fa pensare che stiamo cercando questa probabilità? Dove vedi un tempo limite nella domanda?

"mobley":
a cosa serve stabilire il numero di poliziotti che passano?


Perché in (a) se passa almeno un poliziotto il ladro viene arrestato e in (b) se passano almeno 2 poliziotti viene arrestato. E 1 e 2 sono numeri di poliziotti.
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