Ampiezza dei salti nel processo di Poisson
Stavo provando a dimostrare che l'ampiezza dei salti delle traiettorie di un processo di Poisson è sempre 1, utilizzando questa definizione:
Si chiama processo di Poisson di parametro $\lambda$ un processo a tempi continui $(N_t)_{t\geq 0}$ con traiettorie continue a destra, tale che $N_0=0$, che abbia incrementi indipendenti e tali che $N_t-N_s$ ha legge di Poisson di parametro $\lambda(t-s)$ per ogni $0\leq s
Come aiuto ho di limitarsi al caso $t\in [0,1]$ (del resto negli altri intervalli $[t,t+1]$ di lunghezza 1 basta moltiplicare per $t$) e di considerare la successione di eventi
$A_n=\bigcup_{k=0}^{2^n-1}\{N_{{k+1}/{2^n}}-N_{{k}/{2^n}}\geq 2\}$.
L'intersezione $A$ di tutti questi eventi dovrebbe identificare l'insieme delle traiettorie con almeno un salto di ampiezza maggiore di 1, giusto?
L'uso dei numeri diadici immagino che sia giustificato dal fatto che sono densi in $RR$, eh?
Ho provato a lavorare direttamente con questi $A_n$, ma i conti non mi tornano... Avrò sbagliato qualche passaggio...
Invece passando al complementare le cose vanno meglio:
$A_n^c=\bigcap_{k=0}^{2^n-1}\{N_{{k+1}/{2^n}}-N_{{k}/{2^n}}< 2\}$ e utilizzerei la continuità della misura per successioni crescenti, cioè provo che la successione degli $A_n^c$ è crescente, ne calcolo il limite delle probabilità e trovo la probabilità della loro unione, che sarebbe il complementare di $A$.
Va bene il procedimento?
Si chiama processo di Poisson di parametro $\lambda$ un processo a tempi continui $(N_t)_{t\geq 0}$ con traiettorie continue a destra, tale che $N_0=0$, che abbia incrementi indipendenti e tali che $N_t-N_s$ ha legge di Poisson di parametro $\lambda(t-s)$ per ogni $0\leq s
Come aiuto ho di limitarsi al caso $t\in [0,1]$ (del resto negli altri intervalli $[t,t+1]$ di lunghezza 1 basta moltiplicare per $t$) e di considerare la successione di eventi
$A_n=\bigcup_{k=0}^{2^n-1}\{N_{{k+1}/{2^n}}-N_{{k}/{2^n}}\geq 2\}$.
L'intersezione $A$ di tutti questi eventi dovrebbe identificare l'insieme delle traiettorie con almeno un salto di ampiezza maggiore di 1, giusto?
L'uso dei numeri diadici immagino che sia giustificato dal fatto che sono densi in $RR$, eh?
Ho provato a lavorare direttamente con questi $A_n$, ma i conti non mi tornano... Avrò sbagliato qualche passaggio...
Invece passando al complementare le cose vanno meglio:
$A_n^c=\bigcap_{k=0}^{2^n-1}\{N_{{k+1}/{2^n}}-N_{{k}/{2^n}}< 2\}$ e utilizzerei la continuità della misura per successioni crescenti, cioè provo che la successione degli $A_n^c$ è crescente, ne calcolo il limite delle probabilità e trovo la probabilità della loro unione, che sarebbe il complementare di $A$.
Va bene il procedimento?
Risposte
l'insieme degli 2-adici è denso in $[0,1]$.
sei sicuro che devi intersecare $A_n$?
Sei sicuro che $A_n^c$ sia crescente? (prova a dimostrarlo bene, potrei sbagliarmi, ma...)
Per il resto dovrebbe andare bene!
sei sicuro che devi intersecare $A_n$?
Sei sicuro che $A_n^c$ sia crescente? (prova a dimostrarlo bene, potrei sbagliarmi, ma...)
Per il resto dovrebbe andare bene!
"fu^2":
l'insieme degli 2-adici è denso in \( [0,1] \).
Quelli che usiamo qui sì, sono tutti in [0,1].
"fu^2":
sei sicuro che devi intersecare \( A_n \)?
Sicuro no, diciamo che mi sembra credibile e che mi conforta il fatto che sia scritto nel testo di un professore
Cosa non ti convince?
"fu^2":
Sei sicuro che \( A_n^c \) sia crescente? (prova a dimostrarlo bene, potrei sbagliarmi, ma...)
Qui invece ho poche certezze e una dimostrazione completa non l'ho fatta, anche perché volevo prima sapere se il procedimento era giusto, comunque ho provato i casi $n=0,1,2$ e sembrano incoraggiare la congettura... In pratica la successione delle parti di $A_n^c$ con $k=0$ è crescente e... Forse faccio prima a riscrivere quello che ho fatto
$A_0^c=\{N_1<2\}$
$A_1^c=\{N_{1/2}<2\}\cap \{N_1-N_{1/2}<2\}$
$A_1^c=\{N_{1/4}<2\} \cap \{N_{1/2}-N_{1/4}<2\} \cap \{N_1-N_{3/4}<2\}$
e sfrutto il fatto che $N_t$ è crescente... Che ne dici?
si si devi intersecare , sull'ultima parte
se $\omega\in A_0^c$, allora $N_{1}(\omega)<2$ e $0
Un cosiglio: secondo me il meccanismo funziona così per tutti gli $n$, quindi ... c'è un modo noto per dimostrare in questi casi
, sull'ultima partese $\omega\in A_0^c$, allora $N_{1}(\omega)<2$ e $0
Un cosiglio: secondo me il meccanismo funziona così per tutti gli $n$, quindi ... c'è un modo noto per dimostrare in questi casi
Vediamo di completare anche questo problema...
Intanto nell'ultimo mio messaggio penso di avere commesso qualche errore: la successione giusta degli $A_n^c$ dovrebbe essere
$ A_0^c=\{N_1<2\} $
$ A_1^c=\{N_{1/2}<2\}\cap \{N_1-N_{1/2}<2\} $
$ A_2^c=\{N_{1/4}<2\} \cap \{N_{1/2}-N_{1/4}<2\} \cap \{N_{3/4}-N_{1/2}<2\} \cap \{N_1-N_{3/4}<2\} $
...
E il metodo noto per dimostrare che è crescente a me non è noto
Pensavo di andare di induzione, ma mi complico un po' la vita con le notazioni... In pratica avrei che il termine $k$-esimo di $A_{n-1}^c$ è contenuto nei termini $2k-1$-esimo e $2k$-esimo di $A_{n}^c$, ed essendo tutte intersezioni dovrei essere a posto, che ne dici?
Fatto questo non ci resta che calcolare la probabilità di questi $A_{n}^c$ e andare al limite:
chiamo per comodità $N^k=N_{{k+1}/{2^n}}-N_{{k}/{2^n}}$ (variabili di Poisson di parametro $\lambda/{2^n}$) e ho
$P(N^k<2)=P(N^k=0)+P(N^k=1)=exp(-\lambda/{2^n})(1+\lambda/{2^n})\to 1$
e infine $P(\cap\{N^k<2\})=(exp(-\lambda/{2^n})(1+\lambda/{2^n}))^{2^n}\to 1$.
Intanto nell'ultimo mio messaggio penso di avere commesso qualche errore: la successione giusta degli $A_n^c$ dovrebbe essere
$ A_0^c=\{N_1<2\} $
$ A_1^c=\{N_{1/2}<2\}\cap \{N_1-N_{1/2}<2\} $
$ A_2^c=\{N_{1/4}<2\} \cap \{N_{1/2}-N_{1/4}<2\} \cap \{N_{3/4}-N_{1/2}<2\} \cap \{N_1-N_{3/4}<2\} $
...
E il metodo noto per dimostrare che è crescente a me non è noto
Pensavo di andare di induzione, ma mi complico un po' la vita con le notazioni... In pratica avrei che il termine $k$-esimo di $A_{n-1}^c$ è contenuto nei termini $2k-1$-esimo e $2k$-esimo di $A_{n}^c$, ed essendo tutte intersezioni dovrei essere a posto, che ne dici?
Fatto questo non ci resta che calcolare la probabilità di questi $A_{n}^c$ e andare al limite:
chiamo per comodità $N^k=N_{{k+1}/{2^n}}-N_{{k}/{2^n}}$ (variabili di Poisson di parametro $\lambda/{2^n}$) e ho
$P(N^k<2)=P(N^k=0)+P(N^k=1)=exp(-\lambda/{2^n})(1+\lambda/{2^n})\to 1$
e infine $P(\cap\{N^k<2\})=(exp(-\lambda/{2^n})(1+\lambda/{2^n}))^{2^n}\to 1$.
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