Altro esercizio su variabili aleatorie.
Sinceramente non so se uno stesso utente può iniziare due argomenti in contemporanea ma sto facendo esecizi di probabilità da tutto il giorno e sono fuso... forse per questo motivo non riesco a risolvere neanchè questo esercizio che sembra abbastanza banale.
Gli studenti di una scuola sono 730; si supponga che la probabilità che uno studente scelto a caso sia nato in un determinato giorno dell'anno sia la stessa per ognuno dei 365 giorni.
a) posto X = "numero degli studenti nati il 1 febbraio", Y = "numero degli studenti nati il 9 febbraio"
determinare se le variabili aleatorie X e Y sono indipendenti;
b) Calcolare la probabilità che ci siano almeno 3 studenti nati nei giorni 1 oppure 9 febbraio;
c) trovare il numero più probabile di studenti nati il 1 giugno.
Poi un dubbio che mi è venuto: ma P(X >= 3) è uguale alla 1-P(X < 3) ?
Grazie
Gli studenti di una scuola sono 730; si supponga che la probabilità che uno studente scelto a caso sia nato in un determinato giorno dell'anno sia la stessa per ognuno dei 365 giorni.
a) posto X = "numero degli studenti nati il 1 febbraio", Y = "numero degli studenti nati il 9 febbraio"
determinare se le variabili aleatorie X e Y sono indipendenti;
b) Calcolare la probabilità che ci siano almeno 3 studenti nati nei giorni 1 oppure 9 febbraio;
c) trovare il numero più probabile di studenti nati il 1 giugno.
Poi un dubbio che mi è venuto: ma P(X >= 3) è uguale alla 1-P(X < 3) ?
Grazie
Risposte
Proponi un tentativo di soluzione.. 
Certo.
"Draxent":
Poi un dubbio che mi è venuto: ma P(X >= 3) è uguale alla 1-P(X < 3) ?
Certo.
Allora: X e Y sono v.a $ B(720,1/365) $
a) Logicamente X e Y sebrano indipendenti, ma sono legate tra loro solo dal numero di studenti presenti nella classe
ovvero $ P(X=400,Y=500) = 0 != P(X=400)*P(Y=500) $
b) inanzitutto le variabili X e Y si possono approssimare con due variabili di Poisson con parametro
λ $ = 720*1/365 \sim 2 $
$ P(X >= 3 uu Y >= 3) = P(X >= 3)+P(Y >= 3)-P(X >= 3 nn Y >= 3) = 1 - P(X < 3) - P(Y < 3) + P (X < 3 nn Y < 3) $
$ P(X < 3) = sum_(k = 0)^(2) (2^k*e^-2/k!) \sim 37 $ ??? impossibile
c) il punto c non ho la minima idea di come si faccia.
a) Logicamente X e Y sebrano indipendenti, ma sono legate tra loro solo dal numero di studenti presenti nella classe
ovvero $ P(X=400,Y=500) = 0 != P(X=400)*P(Y=500) $
b) inanzitutto le variabili X e Y si possono approssimare con due variabili di Poisson con parametro
λ $ = 720*1/365 \sim 2 $
$ P(X >= 3 uu Y >= 3) = P(X >= 3)+P(Y >= 3)-P(X >= 3 nn Y >= 3) = 1 - P(X < 3) - P(Y < 3) + P (X < 3 nn Y < 3) $
$ P(X < 3) = sum_(k = 0)^(2) (2^k*e^-2/k!) \sim 37 $ ??? impossibile
c) il punto c non ho la minima idea di come si faccia.
Punto a) Giusto.
Punto b) due precisazioni:
Sei sicuro che l'evento che ti chiede sia $X>=3 uu Y>=3$, potrebbe anche essere $X+Y>=3$. Credo che anche una configurazione $X=2$ $Y=2$ vada bene lo stesso (questioni di interpretazione dell'evento - vedi te).
L'altra cosa
Questa uguaglianza è sbagliata; il membro di sinistra è uguale a :
${1-P(X<3)}+{1-P(Y<3)}-{1-P(bar(X>=3 nn Y>=03))}\ =\ 1-P(X<3)-P(Y<3)+P(bar(X>=3 nn Y>=03))$
$P(bar(X>=3 nn Y>=03))=P(X<3 uu Y<03)$ l'intersezione cambia in unione. (cerca formula di "de morgan").
Per il terzo ti chiede di trovare la moda della variabile Z="nati il primo giugno".
Punto b) due precisazioni:
Sei sicuro che l'evento che ti chiede sia $X>=3 uu Y>=3$, potrebbe anche essere $X+Y>=3$. Credo che anche una configurazione $X=2$ $Y=2$ vada bene lo stesso (questioni di interpretazione dell'evento - vedi te).
L'altra cosa
"Draxent":
$P(X >= 3)+P(Y >= 3)-P(X >= 3 nn Y >= 3) = 1 - P(X < 3) - P(Y < 3) + P (X < 3 nn Y < 3) $
Questa uguaglianza è sbagliata; il membro di sinistra è uguale a :
${1-P(X<3)}+{1-P(Y<3)}-{1-P(bar(X>=3 nn Y>=03))}\ =\ 1-P(X<3)-P(Y<3)+P(bar(X>=3 nn Y>=03))$
$P(bar(X>=3 nn Y>=03))=P(X<3 uu Y<03)$ l'intersezione cambia in unione. (cerca formula di "de morgan").
Per il terzo ti chiede di trovare la moda della variabile Z="nati il primo giugno".
a) Un dubbio su questo punto, ma le variabili X e Y si possono considerare indipendenti se X+Y <= 730 ?
b) Hai ragione tu, mi sa che significa P(X+Y >= 3)
$ P(X + Y >= 3) = 1 - P(X+Y < 3) = 1 - sum_(k = 1)^(2) P(X < k, Y < 3-k) = $
"qui ho messo che sono indipendenti per numeri bassi, altrimenti non saprei come andare avanti"
$ = 1 - sum_(k = 1)^(2) P(X < k)*P(Y < 3-k) = P(X=0)*P(Y = 0)*P(Y=1) + P(X=0)*P(X=1)*P(Y=0)
non mi sembra corretto il mio svolgimento
c) non ho mai calcolato la moda di una variabile aleatoria. Ho letto su wikipedia che quella di poisson è pari a λ
ma non ho capito come mai. In questo caso quindi è 2 la risposta?
b) Hai ragione tu, mi sa che significa P(X+Y >= 3)
$ P(X + Y >= 3) = 1 - P(X+Y < 3) = 1 - sum_(k = 1)^(2) P(X < k, Y < 3-k) = $
"qui ho messo che sono indipendenti per numeri bassi, altrimenti non saprei come andare avanti"
$ = 1 - sum_(k = 1)^(2) P(X < k)*P(Y < 3-k) = P(X=0)*P(Y = 0)*P(Y=1) + P(X=0)*P(X=1)*P(Y=0)
non mi sembra corretto il mio svolgimento
c) non ho mai calcolato la moda di una variabile aleatoria. Ho letto su wikipedia che quella di poisson è pari a λ
ma non ho capito come mai. In questo caso quindi è 2 la risposta?
a) $X\ sim\ "Binom"(730,p)$ $Y\ sim\ "Binom"(730,p)$; Se fossero indipendenti $X+Y$ potrebbe assumere qualsiasi valore tra 0 e 2*730. (sarebbe poi un'altra binomiale di parametro 730*2 e p)
La condizione $X+Y<=730$ ti fa capire che c'è dipendenza. Formalizzare questo ragionamento logico vuol dire mostrare quello che hai fatto te nel secondo post.
b) $X+Y$ ti rappresenta la v.a. "nati il 1 o 9 Febbraio", ha una distribuzione nota. Pensa ad un dado: X=numero di 6, Y=numero di 4, X+Y numero di 6 o 4.
c) devi vedere per quali valori di $lambda$, $e^(-lambda)lambda^k/(k!)$ è massima; quando lambda è piccolo ci metti valori piccoli (es. k=0,1,2,3,4) e vedi quale è maggiore.
La condizione $X+Y<=730$ ti fa capire che c'è dipendenza. Formalizzare questo ragionamento logico vuol dire mostrare quello che hai fatto te nel secondo post.
b) $X+Y$ ti rappresenta la v.a. "nati il 1 o 9 Febbraio", ha una distribuzione nota. Pensa ad un dado: X=numero di 6, Y=numero di 4, X+Y numero di 6 o 4.
c) devi vedere per quali valori di $lambda$, $e^(-lambda)lambda^k/(k!)$ è massima; quando lambda è piccolo ci metti valori piccoli (es. k=0,1,2,3,4) e vedi quale è maggiore.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo