Alcuni dubbi semplici legati allo studio di "elementi di teoria delle probabilità"
Sto iniziando la lettura di un libro con elementi di probabilità, quindi vi prego di scusarmi se userò un linguaggio non molto formale. Spero un giorno di aver tempo di approfondire meglio l'argomento, tuttavia ho DUE dubbi stupidi che mi piacerebbe colmare con il vostro aiuto.
1)
Per spiegare il dubbio utilizzerò un esempio classico, estrazione di palline da un'urna: mettiamo il caso estragga una pallina numerata "2", ebbene, una volta reinserita nell'urna si "azzera" e la probabilità di pescare un "2" è la medesima di quella della prima estrazione.
Spesso gli amanti del superenalotto ci cascano e giocano il numero che tarda ad uscire dopo molte estrazioni, ho sempre sentito dire che sia una tecnica senza fondamento ma..
Mi sembra quasi di dover dar ragione allo stolto giocatore, infatti stando alla definizione frequentista della probabilità appena appresa: $lim_(N->∞) n/N$ con n il numero di eventi accaduti e N le prove. Il 2 ritardatario dovrebbe aver maggior probabilità di uscire (crescono le estrazioni in cui si fa desiderare, cresce N) perché dovrà col tempo tendere a uniformarsi pena il fatto che tale definizione a posteriori di probabilità sia errata. Conclusione evidentemente errata
.
Non comprendo l'errore nella mia logica.
2)
Altro dubbio risiede nell'"influenzarsi di due probabilità", vado a spiegarmi meglio:
- la probabilità (p1) che un uomo venga colpito da un fulmine è bassa
- la probabilità (p2) che un individuo sia colpito da due è diversa dalla prima ed è bassissima
Detto ciò, prendiamo un individuo A che sia già stato colpito da un fulmine, la probabilità che da quel momento in poi possa venire colpito da un fulmine è identica a quella di un individuo B che non è stato mai colpito in vita sua.
Dunque l'individuo A perché diventi un uomo colpito due volte da un fulmine ha la probabilità (p2) ma al contempo la probabilità (p1) perché sarebbe un uomo colpito da un fulmine che ha tale probabilità. E mi sembra un assurdo coesistano su A. In qualche modo il fatto che si esplichi p1 su di lui la seconda volta farebbe sì di essere in presenza di p2, e appare minore, cosa che so non dovrebbe essere.
Grazie per le spiegazioni
1)
Per spiegare il dubbio utilizzerò un esempio classico, estrazione di palline da un'urna: mettiamo il caso estragga una pallina numerata "2", ebbene, una volta reinserita nell'urna si "azzera" e la probabilità di pescare un "2" è la medesima di quella della prima estrazione.
Spesso gli amanti del superenalotto ci cascano e giocano il numero che tarda ad uscire dopo molte estrazioni, ho sempre sentito dire che sia una tecnica senza fondamento ma..
Mi sembra quasi di dover dar ragione allo stolto giocatore, infatti stando alla definizione frequentista della probabilità appena appresa: $lim_(N->∞) n/N$ con n il numero di eventi accaduti e N le prove. Il 2 ritardatario dovrebbe aver maggior probabilità di uscire (crescono le estrazioni in cui si fa desiderare, cresce N) perché dovrà col tempo tendere a uniformarsi pena il fatto che tale definizione a posteriori di probabilità sia errata. Conclusione evidentemente errata
.Non comprendo l'errore nella mia logica.
2)
Altro dubbio risiede nell'"influenzarsi di due probabilità", vado a spiegarmi meglio:
- la probabilità (p1) che un uomo venga colpito da un fulmine è bassa
- la probabilità (p2) che un individuo sia colpito da due è diversa dalla prima ed è bassissima
Detto ciò, prendiamo un individuo A che sia già stato colpito da un fulmine, la probabilità che da quel momento in poi possa venire colpito da un fulmine è identica a quella di un individuo B che non è stato mai colpito in vita sua.
Dunque l'individuo A perché diventi un uomo colpito due volte da un fulmine ha la probabilità (p2) ma al contempo la probabilità (p1) perché sarebbe un uomo colpito da un fulmine che ha tale probabilità. E mi sembra un assurdo coesistano su A. In qualche modo il fatto che si esplichi p1 su di lui la seconda volta farebbe sì di essere in presenza di p2, e appare minore, cosa che so non dovrebbe essere.
Grazie per le spiegazioni
Risposte
Grazie per l'intervento
Ciò che mi porta fuori strada credo sia l'intuito. Infatti la probabilità che una persona sia colpita due volte da un fulmine è più bassa del fatto che una persona sia colpita una singola volta. Quindi la probabilità che lo sventurato appartenga al gruppo di persone che è colpita due volte è molto bassa (è più facile possa appartenere a quel gruppo colpito una singola volta nella vita), questo dovrebbe rassicurarlo.. eppure no, egli ha medesima probabilità che il successivo fulmine cada su di lui o su un altro mai colpito. Mi paiono due affermazioni contrarie
: ha bassissima probabilità di appartenere al gruppo colpito due volte nella vita, eppure nel caso cada un fulmine ha stessa probabilità di esser colpito di prima.
In realtàa formule mi sembra tornare abbastanza (sono arrivato alle definizioni rigorose nella lettura di stamane), meno a intuito, ed èevidente interpreti male il fenomeno.Però non capisco bene dove riesieda ilmio errore interpretativo.
[PS: a margine, avevo pensato di usare una composta con eventi indipendenti più che una condizionata per il calcolo formale.]
Quel che mi sfugge è perché sia indipendente dalla precedente essendo legata ogni estrazione per l'interpretazione frequentista, infatti se a infinito tende ad assumere il suo valore di probabilità di uscita (mi mostra che minimamente è legato agli eventi precedenti alrimenti non avrebbe tale andamento a infinito (1)), posso affermare che prima o poi debba uscire (per assestarsi ad esso e portare alla definizione) nel caso sia ritardatario da molte estrazioni.
(1)(Un numero non può non uscire mai, a infinito assume il valore di probabilità infatti. Quindi se non uscito in precedenza deve uscire dopo)
Scusa la testardaggine
"arnett":
Quanto alla seconda questione: semplicemente le due quantità che calcoli sono diverse e per capirne la differenza hai bisogno del concetto di probabilità condizionata. Tu puoi calcolare la probabilità che un uomo venga colpito da un filme sapendo o ignorando se è stato colpito in precedenza, e troverai due quantità diverse, poiché sono diverse le informazioni che tu possiedi sull'uomo in questione.
Ciò che mi porta fuori strada credo sia l'intuito. Infatti la probabilità che una persona sia colpita due volte da un fulmine è più bassa del fatto che una persona sia colpita una singola volta. Quindi la probabilità che lo sventurato appartenga al gruppo di persone che è colpita due volte è molto bassa (è più facile possa appartenere a quel gruppo colpito una singola volta nella vita), questo dovrebbe rassicurarlo.. eppure no, egli ha medesima probabilità che il successivo fulmine cada su di lui o su un altro mai colpito. Mi paiono due affermazioni contrarie
: ha bassissima probabilità di appartenere al gruppo colpito due volte nella vita, eppure nel caso cada un fulmine ha stessa probabilità di esser colpito di prima.In realtàa formule mi sembra tornare abbastanza (sono arrivato alle definizioni rigorose nella lettura di stamane), meno a intuito, ed èevidente interpreti male il fenomeno.Però non capisco bene dove riesieda ilmio errore interpretativo.
[PS: a margine, avevo pensato di usare una composta con eventi indipendenti più che una condizionata per il calcolo formale.]
"arnett":
Inoltre, l'esito di ogni estrazione rimane indipendente sia dall'esito di ogni estrazione precedente, sia dalla frazione di successi precedenti. Quindi non ci sono contraddizioni.
Quel che mi sfugge è perché sia indipendente dalla precedente essendo legata ogni estrazione per l'interpretazione frequentista, infatti se a infinito tende ad assumere il suo valore di probabilità di uscita (mi mostra che minimamente è legato agli eventi precedenti alrimenti non avrebbe tale andamento a infinito (1)), posso affermare che prima o poi debba uscire (per assestarsi ad esso e portare alla definizione) nel caso sia ritardatario da molte estrazioni.
(1)(Un numero non può non uscire mai, a infinito assume il valore di probabilità infatti. Quindi se non uscito in precedenza deve uscire dopo)
Scusa la testardaggine
Many thaks, ora mi è più chiaro il quadro della situazione.
Dovrò farci un po' l'abitudine, non sono molto portato
Dovrò farci un po' l'abitudine, non sono molto portato
Per il punto 1), sembra esserci una inconsistenza, che in realtà non c'è. L'impostazione frequentista, che sotto un profilo matematico si lega alla legge dei grandi numeri, afferma un risultato su un limite.
Tuttavia, i limiti non sono influenzati da quello che succede su un numero finito di elementi della successione.
Dunque se lancio una moneta cento volte, il limite se ne frega di quello che è successo.
Tuttavia, i limiti non sono influenzati da quello che succede su un numero finito di elementi della successione.
Dunque se lancio una moneta cento volte, il limite se ne frega di quello che è successo.
"DajeForte":
Tuttavia, i limiti non sono influenzati da quello che succede su un numero finito di elementi della successione.
Dunque se lancio una moneta cento volte, il limite se ne frega di quello che è successo.
Il problema è che l'ho capita anche io così grazie a voi, però non capisco questa affermazione del libro:
"nel caso di dadi ben costruiti,la frequenza relativa osservata su un numero elevato di lanci deve approssimare, per legge empirica del caso, i valori della probabilità teorica. Se così non fosse i dadi non sarebbero stati costruiti correttamente o addirittura si potrebbe sospettare fossero truccati"
Il problema è che come dicevamo siamo sempre nel finito, non vi è motivo perché le estrazioni si "approssimino" alla distribuzione al limite. Invece alcune volte (citazione del libro) si utilizza il confronto "caso di gradni numeri/caso reale". Nel caso delle estrazioni del 2 no, altrimenti quando non esce dovrei sospettare una truffa, invece per quanto dicevamo potrebbe non uscire!
Mi sembran due visioni opposte.
Innanzitutto ci sono risultati che forniscono delle approssimazioni o probabilità esatte, al crescere delle prove, su frequenze di realizzo.
Comunque se lanci cento volte una moneta bilanciata ed esce 100 volte testa, non devi pensare che visto che è uscito testa sarà più facile che esca croce per far rispettare la legge dei grandi numeri, ma che ci metterai più lanci per riassorbire quelle cento teste.
Comunque se lanci cento volte una moneta bilanciata ed esce 100 volte testa, non devi pensare che visto che è uscito testa sarà più facile che esca croce per far rispettare la legge dei grandi numeri, ma che ci metterai più lanci per riassorbire quelle cento teste.
Però stando così le cose
Non capisco perché si possa dire
Dicevamo che nel finito lalegge dei grandi numeri non vale, ergo non posso trarre conclusioni.
Comunque se lanci cento volte una moneta bilanciata ed esce 100 volte testa, non devi pensare che visto che è uscito testa sarà più facile che esca croce per far rispettare la legge dei grandi numeri, ma che ci metterai più lanci per riassorbire quelle cento teste
Non capisco perché si possa dire
"nel caso di dadi ben costruiti,la frequenza relativa osservata su un numero elevato di lanci deve approssimare, per legge empirica del caso, i valori della probabilità teorica. Se così non fosse i dadi non sarebbero stati costruiti correttamente o addirittura si potrebbe sospettare fossero truccati"
Dicevamo che nel finito lalegge dei grandi numeri non vale, ergo non posso trarre conclusioni.
La legge dei grandi numeri da un risultato al limite, però come ti ho scritto, ci sono risultati legati ad approssimazioni per valori finiti; inoltre, in casi non troppo complessi, puoi tranquillamente calcolare probabilità esatte mediante binomiali. Ad esempio se lanci una moneta 100 volte e calcolo la probabilità che la frequenza si discosti da 0.5 di una certa soglia, aumentando il numero di lanci ma mantenendo la stessa soglia ottieni un probabilità inferire.
Grazie per la spiegazione
Gentilissimi
Gentilissimi
"vastità":
Sto iniziando la lettura di un libro con elementi di probabilità, quindi vi prego di scusarmi se userò un linguaggio non molto formale. Spero un giorno di aver tempo di approfondire meglio l'argomento, tuttavia ho DUE dubbi stupidi che mi piacerebbe colmare con il vostro aiuto.
Sono temi utili fai bene a studiarli. Per il resto non ti devi scusare di nulla, non siamo un simposio di eletti ... basta che metti serietà. Inoltre altro che dubbi stupidi, stai riflettendo su aspetti chiave della probabilità ed in particolare i temi legati al primo punto hanno portato in errore anche persone di vasta cultura (anche scientifica) ed ancora lo fanno.
Provo ad aggiungere qualcosa a quanto è stato già detto.
"vastità":
2)
Altro dubbio risiede nell'"influenzarsi di due probabilità", vado a spiegarmi meglio:
- la probabilità (p1) che un uomo venga colpito da un fulmine è bassa
- la probabilità (p2) che un individuo sia colpito da due è diversa dalla prima ed è bassissima
Detto ciò, prendiamo un individuo A che sia già stato colpito da un fulmine, la probabilità che da quel momento in poi possa venire colpito da un fulmine è identica a quella di un individuo B che non è stato mai colpito in vita sua.
Dunque l'individuo A perché diventi un uomo colpito due volte da un fulmine ha la probabilità (p2) ma al contempo la probabilità (p1) perché sarebbe un uomo colpito da un fulmine che ha tale probabilità. E mi sembra un assurdo coesistano su A. In qualche modo il fatto che si esplichi p1 su di lui la seconda volta farebbe sì di essere in presenza di p2, e appare minore, cosa che so non dovrebbe essere.
L'esempio di arnett è abbastanza esplicativo ma in generale il tema in gioco è il concetto di condizionamento e di indipendenza.
Nell'esempio che fai sembra supposta l'indipendenza e nell'esempio di arnett lo è chiaramente.
Allora possiamo anche dire che $p2 = p1 p1 = P(E_1) P(E_1) = P(E_2)$ inoltre la quantità che dovrebbe risolvere il tuo dubbio è $P(E_2|E_1)= p1>p2$ perchè condizionare rispetto al verificarsi dell'evento $E_1$ (il primo fulmine ha compito) modifica lo stato iniziale ... $p2$ in se stessa diventa una probabilità "da buttar via". Quello che invece non si modifica è la probabilità di essere colpito da un fulmine, primo o secondo che sia.
"vastità":
1)
Per spiegare il dubbio utilizzerò un esempio classico, estrazione di palline da un'urna: mettiamo il caso estragga una pallina numerata "2", ebbene, una volta reinserita nell'urna si "azzera" e la probabilità di pescare un "2" è la medesima di quella della prima estrazione.
Spesso gli amanti del superenalotto ci cascano e giocano il numero che tarda ad uscire dopo molte estrazioni, ho sempre sentito dire che sia una tecnica senza fondamento ma..
Mi sembra quasi di dover dar ragione allo stolto giocatore, infatti stando alla definizione frequentista della probabilità appena appresa: $lim_(N->∞) n/N$ con n il numero di eventi accaduti e N le prove. Il 2 ritardatario dovrebbe aver maggior probabilità di uscire (crescono le estrazioni in cui si fa desiderare, cresce N) perché dovrà col tempo tendere a uniformarsi pena il fatto che tale definizione a posteriori di probabilità sia errata. Conclusione evidentemente errata
Non comprendo l'errore nella mia logica.
Quanto detto nell'esempio precedente è in verità strettamente legato a quanto chiedi qui.
L'errore, almeno il principale, della tua logica (che è molto attraente) è nel fatto che c'è di mezzo il concetto di infinito.
Se devi percorrere una distanza infinita ed hai già percorso ... diciamo $100$ km ... quanto ti manca da percorrere? La stessa distanza che mancava alla partenza! ... in sostanza è per questo che non vi è contraddizione nel dire che un evento come il 2 all'enalotto: ha probabilità positiva di uscire, quindi prima o poi uscirà, ed inoltre prima o poi la frequenza osservata convergerà a quella teorica; tuttavia anche non fosse mai uscito in passato, o anche fosse uscito sempre, la probabilità che sia estratto alla prossima estrazione resta quella iniziale.
(dimostrare tutto questo è bello ma non banale)
Inoltre ti faccio notare che il discorso che hai fatto do DajeForte è un po "pericoloso" (per Te e per altri che leggono, non per Lui
). In massima sintesi, dire che se certe condizioni iniziali sono ipotizzate vere (moneta bilanciata e lanci indipendenti) allora il fatto che in $100$ estrazioni sia uscita sempre la stessa faccia non modifica la probabilità che esca ancora al prossimo lancio ... è una cosa (vedi sopra). Lanciare cento volte un dado e stimare una probabilità e/o verificare la fondatezza di un'ipotesi ... è tutta un'altra storia.Infine una nota "definitoria"
"arnett":
... non esiste una definizione frequentista di probabilità. La definizione di probabilità è una ed è assiomatica, poi esiste un'interpretazione frequentista che assegna il significato da dare alla probabilità, ma è semplicemente una maniera di vederla.
Questo non è vero. La definizione frequentista è una definizione a tutti gli effetti e lo è anche, ad esempio, quella classica.
Che poi queste definizioni abbiano dei problemi e che siano utili per il loro apporto operativo più che per quello teorico, dove invece la maggior parte dei matematici fa riferimento alla definizione assiomatica, è vero ... ma non è esattamente la stessa cosa.
Ti ringrazio per la risposta @markowitz, ci ho messo un po' a risponderti perché volevo ragionarci su e l'ho fatto
Direi che il tuo messaggio conferma la risposta intuitiva che mi ero dato, in particolare nel passaggio
Spesso mi piace saziare l'inutito prima di passare al formalismo, anche perché quando non lo faccio sento una comprensione incopleta dell'argomento. Non so perché
Ad ogni modo, l'unica sfumatura che mi manca da incasellare al suo posto è l'esempio di cui parlavo scritto sul libro, dove dice:
"nel caso di dadi ben costruiti,la frequenza relativa osservata su un numero elevato di lanci deve approssimare, per legge empirica del caso, i valori della probabilità teorica. Se così non fosse i dadi non sarebbero stati costruiti correttamente o addirittura si potrebbe sospettare fossero truccati"
Certe volte mi sembra di inquadrarlo, altre meno. Quindi mi lascia irrequietezza mentale e senso di non capito..
Infatti mi viene da pensare con l'interpretazione che citavo nel tuo discorso (quella del limite) che in casi concreti siamo sempre nel finito e non all'infinito, dunque proprio per il motivo che [...]tuttavia anche non fosse mai uscito in passato, o anche fosse uscito sempre, la probabilità che sia estratto alla prossima estrazione resta quella iniziale[...] mi viene da concludere che qualunque sequenza di tiri abbia campionato non debba approssimare il comportamento di infiniti tiri del dado (prob. teorica) nell'esempio del libro di testo (perché siamo in un caso finito, appunto).
Direi che il tuo messaggio conferma la risposta intuitiva che mi ero dato, in particolare nel passaggio
"markowitz":
Quanto detto nell'esempio precedente è in verità strettamente legato a quanto chiedi qui.
L'errore, almeno il principale, della tua logica (che è molto attraente) è nel fatto che c'è di mezzo il concetto di infinito.
Se devi percorrere una distanza infinita ed hai già percorso ... diciamo $100$ km ... quanto ti manca da percorrere? La stessa distanza che mancava alla partenza! ... in sostanza è per questo che non vi è contraddizione nel dire che un evento come il 2 all'enalotto: ha probabilità positiva di uscire, quindi prima o poi uscirà, ed inoltre prima o poi la frequenza osservata convergerà a quella teorica; tuttavia anche non fosse mai uscito in passato, o anche fosse uscito sempre, la probabilità che sia estratto alla prossima estrazione resta quella iniziale.
(dimostrare tutto questo è bello ma non banale)
Spesso mi piace saziare l'inutito prima di passare al formalismo, anche perché quando non lo faccio sento una comprensione incopleta dell'argomento. Non so perché
Ad ogni modo, l'unica sfumatura che mi manca da incasellare al suo posto è l'esempio di cui parlavo scritto sul libro, dove dice:
"nel caso di dadi ben costruiti,la frequenza relativa osservata su un numero elevato di lanci deve approssimare, per legge empirica del caso, i valori della probabilità teorica. Se così non fosse i dadi non sarebbero stati costruiti correttamente o addirittura si potrebbe sospettare fossero truccati"
Certe volte mi sembra di inquadrarlo, altre meno. Quindi mi lascia irrequietezza mentale e senso di non capito..
Infatti mi viene da pensare con l'interpretazione che citavo nel tuo discorso (quella del limite) che in casi concreti siamo sempre nel finito e non all'infinito, dunque proprio per il motivo che [...]tuttavia anche non fosse mai uscito in passato, o anche fosse uscito sempre, la probabilità che sia estratto alla prossima estrazione resta quella iniziale[...] mi viene da concludere che qualunque sequenza di tiri abbia campionato non debba approssimare il comportamento di infiniti tiri del dado (prob. teorica) nell'esempio del libro di testo (perché siamo in un caso finito, appunto).
Scusa ma che studi fai?
Sono tutte cose ampiamente affrontate in qualunque corso universitario.... Ci si potrebbero (ed è stato fatto in questa stanza) dedicare centinaia di discussioni...test di verifica di ipotesi, parametrici e non, applicazioni di statistica in logica bayesiana, studi di convergenza di successioni aleatorie ecc ecc....
Dalle domande che poni pare che tu non abbia ancora studiato nulla di tutto ciò....
Sono tutte cose ampiamente affrontate in qualunque corso universitario.... Ci si potrebbero (ed è stato fatto in questa stanza) dedicare centinaia di discussioni...test di verifica di ipotesi, parametrici e non, applicazioni di statistica in logica bayesiana, studi di convergenza di successioni aleatorie ecc ecc....
Dalle domande che poni pare che tu non abbia ancora studiato nulla di tutto ciò....
@tommik: sicuro sian sempre affrontate in qualunque corso?
Lo chiedo non per polemica ma per preoccupazione riguardo la serietà del corso. Ad ogni modo è un corso di laboratorio con elementi di statistica (LT fisica)
PS:
No in effetti mai viste prima al classico
Lo chiedo non per polemica ma per preoccupazione riguardo la serietà del corso. Ad ogni modo è un corso di laboratorio con elementi di statistica (LT fisica)
PS:
"tommik":
Dalle domande che poni pare che tu non abbia ancora studiato nulla di tutto ciò....
No in effetti mai viste prima al classico
Mi sono espresso male: non in qualunque corso base ma corso inteso come "corso di studi" .. molte cose vengono affrontate e chiarite (forse anche meglio di un corso di statistica) in matematica.
Se sei agli inizi sarà difficile comprendere a fondo i dubbi che (giustamente) ti poni. Devi fare qualche "atto di fede " e vedrai che dopo tutto risulterà più chiaro. Sforzarti ora per capire queste cose senza le dovute basi è controproducente.
Dovresti prima avere un po' di conoscenze almeno di
- vari tipi di convergenza
- teoria della stima
- prova di ipotesi parametrica e non parametrica
- srima e prova di ipotesi bayesiana
.... secondo me
Saluti
Se sei agli inizi sarà difficile comprendere a fondo i dubbi che (giustamente) ti poni. Devi fare qualche "atto di fede " e vedrai che dopo tutto risulterà più chiaro. Sforzarti ora per capire queste cose senza le dovute basi è controproducente.
Dovresti prima avere un po' di conoscenze almeno di
- vari tipi di convergenza
- teoria della stima
- prova di ipotesi parametrica e non parametrica
- srima e prova di ipotesi bayesiana
.... secondo me
Saluti
Ah ecco, allora ci risentiamo tra qualche millennio
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