Albero binomiale
In un albero binomiale che conta $N$ passi si hanno $N+1$ possibili esiti ed $2^N$ traiettorie per ottenerli.
La mia domanda è la seguente:
abbiamo una marcia aleatoria, cioè si parte dal punto iniziale $x(0)$ e per ogni passo "up" viene aggiunta una unità $x(k)=x(k-1)+1$, e per ogni passo "down" viene tolta un unità $x(k)=x(k-1)-1$ dove il passo e deciso da una moneta equilibrata $P(up)=P(down)=0.5$.
alla fine della traiettoria si arriverà allo stato finale $X(N)$
qual'è la probabilità, chiamilamola $P(X(0)+1)$, che la traiettoria raggiunga anche per un solo passo il livello $x(0)+1$?
E' facile notare che (per semplicità poniamo $N=dispari$) nel 50% dei casi $x(N)>x(0)$ quindi tali casi vannno tutti considerati, ma ci saranno anche altri casi in cui $x(N)
La mia domanda è la seguente:
abbiamo una marcia aleatoria, cioè si parte dal punto iniziale $x(0)$ e per ogni passo "up" viene aggiunta una unità $x(k)=x(k-1)+1$, e per ogni passo "down" viene tolta un unità $x(k)=x(k-1)-1$ dove il passo e deciso da una moneta equilibrata $P(up)=P(down)=0.5$.
alla fine della traiettoria si arriverà allo stato finale $X(N)$
qual'è la probabilità, chiamilamola $P(X(0)+1)$, che la traiettoria raggiunga anche per un solo passo il livello $x(0)+1$?
E' facile notare che (per semplicità poniamo $N=dispari$) nel 50% dei casi $x(N)>x(0)$ quindi tali casi vannno tutti considerati, ma ci saranno anche altri casi in cui $x(N)
Risposte
se non ho capito male quello da te descritto nel problema è paragonabile a una camminata aleatoria simmetrica su $ZZ$, giusto? se hai $X_0=X(0)=j$ allora $X_k$ sono v.a. che segnano dove ti trovi al tempo $k$ e hai che $P(X_k=j+1|X_{k-1}=j)=P(X_k=j-1|X_{k-1}=j)=1/2$, dove puoi scrivere, come hai scritto te, che $X_k=X_{k-1}+\alpha$ dove $\alpha\sim B(1/2)$.
Te ti stai chiedendo $P(EE n: X_n=X_0+1|X_0=j)$ in quanto il punto iniziale è noto.
Dunque se la mia interpretazione è corretta il problema lo puoi risolvere con l'uso di catene di markov, no? (la probabilità la trovi usando formule di assorbimento in tal caso).
Te ti stai chiedendo $P(EE n: X_n=X_0+1|X_0=j)$ in quanto il punto iniziale è noto.
Dunque se la mia interpretazione è corretta il problema lo puoi risolvere con l'uso di catene di markov, no? (la probabilità la trovi usando formule di assorbimento in tal caso).
Sul Grimmet-Stirzaker: Random process, c'è un paragrafo semplice ed esplicativo per questo tipo di problemi.
Dato che parti dal punto $x_0$, per raggiungere quota $x_0+1$ ti basta che su $N$ passi tu abbia che il numero di up $N(+)$ sia tale che $N(+)=N(-)+1$, dove $N(-)$ è il numero di down, con il vincolo $N(+)+N(-)=N$. L'ordine non conta nel tuo caso. Il retso dovrebbe seguire abbastanza agevolmente.
Dato che parti dal punto $x_0$, per raggiungere quota $x_0+1$ ti basta che su $N$ passi tu abbia che il numero di up $N(+)$ sia tale che $N(+)=N(-)+1$, dove $N(-)$ è il numero di down, con il vincolo $N(+)+N(-)=N$. L'ordine non conta nel tuo caso. Il retso dovrebbe seguire abbastanza agevolmente.
Fino alla terza riga sono d'accordo, ma l'ultima parte non è proprio quello che volevo dire. A me non interessa conoscere
$P(X(N)=X(0)+1|X(0)=j)$ che tra l'altro, se non sbaglio, è un condizionamento superfluo perchè l'evento è indipendente da $j$. Tale probabilità è ricavabile utilizzando la funzione binomiale (non conosco il concetto di formule di assorbimento), ed in ogni caso è proprio l'eventualità che voglio escludere (ovvero gli voglio assegnare prob. nulla) per questo consigliavo di usare $N=dispari$, forse era tardi ed ai letto con un po di fretta.
Quello che a me interessa è difficile, o meglio non trattabile con formule immediate, perchè per esprimere il concetto in modo diverso da sopra, si può dire che nel mio caso si parte da $X(0)$ da cui si sviluppa una marcia aleatoria simmetrica già descritta ma:
-nel caso in cui la variabile $X$ in un qualsiasi tempo $k$ raggiunge lo stato $X(k)=X(0)+1$ allora il processo si interrompe e tale valore diventa il "valore finale"
-altrimeti se $X(k)$ resta "nella parte bassa dell'albero" per tutta la traiettoria allora il valore da considerare sarà effettivamente $X(N)$ dove chiaramente $X(N)
Detto ciò, per un prefissato $N$ quanto vale prob. "valore finale"=$X(0)+1$?
$P(X(N)=X(0)+1|X(0)=j)$ che tra l'altro, se non sbaglio, è un condizionamento superfluo perchè l'evento è indipendente da $j$. Tale probabilità è ricavabile utilizzando la funzione binomiale (non conosco il concetto di formule di assorbimento), ed in ogni caso è proprio l'eventualità che voglio escludere (ovvero gli voglio assegnare prob. nulla) per questo consigliavo di usare $N=dispari$, forse era tardi ed ai letto con un po di fretta.
Quello che a me interessa è difficile, o meglio non trattabile con formule immediate, perchè per esprimere il concetto in modo diverso da sopra, si può dire che nel mio caso si parte da $X(0)$ da cui si sviluppa una marcia aleatoria simmetrica già descritta ma:
-nel caso in cui la variabile $X$ in un qualsiasi tempo $k$ raggiunge lo stato $X(k)=X(0)+1$ allora il processo si interrompe e tale valore diventa il "valore finale"
-altrimeti se $X(k)$ resta "nella parte bassa dell'albero" per tutta la traiettoria allora il valore da considerare sarà effettivamente $X(N)$ dove chiaramente $X(N)
Detto ciò, per un prefissato $N$ quanto vale prob. "valore finale"=$X(0)+1$?
Per andrea2976
ho scritto il secondo post, che rispondeva a fu^2 proprio mentre tu inserivi il tuo.
In ogni caso anche la tua interpretazione non è quella che volevo dare io perchè, per usare la tua notazione, nel mio caso non è assolutamente detto che $N(+)+N(-)=N$
ho scritto il secondo post, che rispondeva a fu^2 proprio mentre tu inserivi il tuo.
In ogni caso anche la tua interpretazione non è quella che volevo dare io perchè, per usare la tua notazione, nel mio caso non è assolutamente detto che $N(+)+N(-)=N$
Il problema sembra interessante da un punto di vista generale, ma mi pare che forse sia esposto in maniera non troppo chiara...almeno per me.
Prima parti da un albero binomiale, poi parli di passeggiate aleatorie, in un primo momento non ci avevo fatto caso.
Se vuoi considerare alberi binomiali il passaggio a passeggiate aleatorie non mi sembra così diretto. Provo a spiegarti il mio punto di vista:
se consideri un albero binomiale ricombinante in cui gli step (up-down) o (down-up) arrivano ad un medesimo nodo allora il legame con la passeggiata aleatoria
"semplice" mi sembra plausibile altrimenti se non sei in questo caso la vedo un po' dura.
Ti lascio un link che avevo consultato per altre ragioni ma penso che forse ti possa dare qualche spunto
(da pag. 26, per il tuo problema):http://www.dmg.tuwien.ac.at/drmota/BanffDrmota.pdf
Magari vedi anche la sua pagina web.
Prima parti da un albero binomiale, poi parli di passeggiate aleatorie, in un primo momento non ci avevo fatto caso.
Se vuoi considerare alberi binomiali il passaggio a passeggiate aleatorie non mi sembra così diretto. Provo a spiegarti il mio punto di vista:
se consideri un albero binomiale ricombinante in cui gli step (up-down) o (down-up) arrivano ad un medesimo nodo allora il legame con la passeggiata aleatoria
"semplice" mi sembra plausibile altrimenti se non sei in questo caso la vedo un po' dura.
Ti lascio un link che avevo consultato per altre ragioni ma penso che forse ti possa dare qualche spunto
(da pag. 26, per il tuo problema):http://www.dmg.tuwien.ac.at/drmota/BanffDrmota.pdf
Magari vedi anche la sua pagina web.
Mi dispiace se non sono risultato chiaro ma a mio modo di vedere quello che ho scritto, se si legge attentamente, non risulta ambiguo. Proprio per non fare confusione con i nomi ho descritto in formule ogni condizione.
L'albero binomiale che considero è chiaramente ricombinante, lo si può dedurre facilmente dalla prima frase che dice:
"In un albero binomiale che conta $N$ passi si hanno $N+1$ possibili esiti e $2^N$ traiettorie per ottenerli". Tale condizione implica che, come tu dici, l'ordine di arrivo degli up/down non è rilevante per l'esito finale inteso come $X(N)$. D'altra parte quando definisco i valori +1 e -1 ai casi up e down rispettivamente tale circostanza diventa evidente.
In aula, in un corso di processi stocastici, abbiamo definito tale modello chiamandolo marcia/passeggiata aleatoria in campo discreto, il passaggio al continuo porta ad ottenere il moto browniano aritmetico.
Parlando di albero binomiale solitamente, almeno nei contesti che sono abituato a vedere, si vuole modellare il prezzo di un'azione. Allora si determinano gli stati up e down come rendimenti dove up=$1+i$ e down=$1/(1+i)$ in tal modo l'albero è ancora ricombinante. Se dal discreto si passa al continuo si arriva al moto browniano geometrico (che, coerentemente con la realtà, non ammette prezzi negativi) da cui si ricava la formula di Black&Schoels...
ma se diciamo che up=+1 e down=-1 siamo ancora autorizzati a dire che abbiamo un albero binomiale ma diventa identicamente coincidente con quella che prima ho chiamato marcia/passeggiata aleatoria.
Spero sia tutto chiaro.
Ringrazio per il link ma non ho trovato, almeno in una prima veloce lettura, spunti utili. D'altra parte la domanda è particolare e come tutte le domende particolari difficilmente ha pronta risposta in materiale bibliografico, ma si deve manipolare la strumentazione che si conosce per tentare di ottenerla.
D'altra parte in realtà credo di aver già risolto il problema in se, ottenendo risultati intuitivamente accettabili, compilando un programma in Matlab. Ma il problema non è poi troppo proibitivo credo si possano avere conferme con un, sicuramente più elegante e convincente, risultato in forma chiusa.
Se devo dare un'indicazione dalla quale io sono partito posso solo dire che è chiaro che, considerando $N=dispari$, la prob. che cerco è $>=0,5$ per ogni $N$ il problema, secondo me, sta sostanzialmente nel contare le traiettorie che raggiungono lo stato finale $X(N)
L'albero binomiale che considero è chiaramente ricombinante, lo si può dedurre facilmente dalla prima frase che dice:
"In un albero binomiale che conta $N$ passi si hanno $N+1$ possibili esiti e $2^N$ traiettorie per ottenerli". Tale condizione implica che, come tu dici, l'ordine di arrivo degli up/down non è rilevante per l'esito finale inteso come $X(N)$. D'altra parte quando definisco i valori +1 e -1 ai casi up e down rispettivamente tale circostanza diventa evidente.
In aula, in un corso di processi stocastici, abbiamo definito tale modello chiamandolo marcia/passeggiata aleatoria in campo discreto, il passaggio al continuo porta ad ottenere il moto browniano aritmetico.
Parlando di albero binomiale solitamente, almeno nei contesti che sono abituato a vedere, si vuole modellare il prezzo di un'azione. Allora si determinano gli stati up e down come rendimenti dove up=$1+i$ e down=$1/(1+i)$ in tal modo l'albero è ancora ricombinante. Se dal discreto si passa al continuo si arriva al moto browniano geometrico (che, coerentemente con la realtà, non ammette prezzi negativi) da cui si ricava la formula di Black&Schoels...
ma se diciamo che up=+1 e down=-1 siamo ancora autorizzati a dire che abbiamo un albero binomiale ma diventa identicamente coincidente con quella che prima ho chiamato marcia/passeggiata aleatoria.
Spero sia tutto chiaro.
Ringrazio per il link ma non ho trovato, almeno in una prima veloce lettura, spunti utili. D'altra parte la domanda è particolare e come tutte le domende particolari difficilmente ha pronta risposta in materiale bibliografico, ma si deve manipolare la strumentazione che si conosce per tentare di ottenerla.
D'altra parte in realtà credo di aver già risolto il problema in se, ottenendo risultati intuitivamente accettabili, compilando un programma in Matlab. Ma il problema non è poi troppo proibitivo credo si possano avere conferme con un, sicuramente più elegante e convincente, risultato in forma chiusa.
Se devo dare un'indicazione dalla quale io sono partito posso solo dire che è chiaro che, considerando $N=dispari$, la prob. che cerco è $>=0,5$ per ogni $N$ il problema, secondo me, sta sostanzialmente nel contare le traiettorie che raggiungono lo stato finale $X(N)
pensandoci un pò, per trovare la probabilità che non passi da $X_0+1$ puoi contare (si riesce bene) tutte le strade che non passano mai per quel punto e poi dividere per tutto il numero di strade possibili.
Per contarle puoi usare il "metodo di riflessione" se ho tempo in questi giorno magari ti dico qualcosa di più se ti interessa la strada, che in questo periodo sono incasinatissimo con gli esami e quant'altro
ciao!
Per contarle puoi usare il "metodo di riflessione" se ho tempo in questi giorno magari ti dico qualcosa di più se ti interessa la strada, che in questo periodo sono incasinatissimo con gli esami e quant'altro
ciao!
@ fu^2
è proprio il tuo metodo quello che ho tentato di usare, ovvero:
$N=1$
traiettorie per cui $X(N)
traiettorie per cui $X(N)
Premetto che non sono un matematico ma, secondo me, a questo punto quello che mi serve penso sia una legge (formula) funzione di $N$ che identifichi una successione per cui si ottiene $f(1)=1$, $f(3)=3$, $f(5)=10$, $f(7)=34(36)$ ma non sono riuscito a trovarla. E' per questo che ho ripiegato sulla simulazione in Matlab.
Forse quello che indichi come metodo della riflessione si avvicina a quello che ho fatto, o forse rende il lavoro più semplice.
Se riesci a darmi un'aiuto ti ringrazio.
La mia curiosità riguarda il fatto che in un primo momento avevo sbagliato i conti e trovando una legge sbagliata avevo erroneamente creduto che per $N-> oo$, $p(X(0)+1)=2/3$ ma tale risultato intuitivamente non mi convinceva e la simulazione ha confermato le perplessità infatti da tale via deduco abbastanza chiaramente che per $N-> oo$, $p(X(0)+1)=1$.
Mi piacerebbe, se non "costa troppo", dimostrarlo analiticamente.
è proprio il tuo metodo quello che ho tentato di usare, ovvero:
$N=1$
traiettorie per cui $X(N)
traiettorie per cui $X(N)
Premetto che non sono un matematico ma, secondo me, a questo punto quello che mi serve penso sia una legge (formula) funzione di $N$ che identifichi una successione per cui si ottiene $f(1)=1$, $f(3)=3$, $f(5)=10$, $f(7)=34(36)$ ma non sono riuscito a trovarla. E' per questo che ho ripiegato sulla simulazione in Matlab.
Forse quello che indichi come metodo della riflessione si avvicina a quello che ho fatto, o forse rende il lavoro più semplice.
Se riesci a darmi un'aiuto ti ringrazio.
La mia curiosità riguarda il fatto che in un primo momento avevo sbagliato i conti e trovando una legge sbagliata avevo erroneamente creduto che per $N-> oo$, $p(X(0)+1)=2/3$ ma tale risultato intuitivamente non mi convinceva e la simulazione ha confermato le perplessità infatti da tale via deduco abbastanza chiaramente che per $N-> oo$, $p(X(0)+1)=1$.
Mi piacerebbe, se non "costa troppo", dimostrarlo analiticamente.
Che la probabilità che $P(X_0+1)=1$ per $N\to+\infty$ è ovvio, essendo che se ci finisci non esci più, o detto meglio hai una catena di Markov fatta da una classe aperta e una classe chiusa (quel punto). Definitivamente le classi aperte non sono "più viste" dal sistema (questo è un risultato base della teoria delle catena di markov, se guardi un qualsiasi testo su ese lo trovi ben spiegato).
guarda qualcosa puoi trovare qua (la bibbia della probabilità) http://books.google.it/books?id=OjCdpQQ ... &q&f=false per vedere il calcolo esatto delle cose...
tutto il capitolo che parte da pagina 94
In breve ti dico la formula finale se tu parti da (0,0) mettiamo (e quindi devi immaginarti che $x_0+1$ corrisponde al -1 di questa camminata, poco male è soloun grafico alla fine
), puoi immaginare di spostarti su e giù andando o in (1,1) o in (-1,-1) e così via (praticamente a ogni nuovo tempo ti sposti in avanti nelle ascisse e su e giù in modo simmetrico sulle ordinate). Se fissi un ascissa, $N$ che sono il numero di passi che vuoi fare, allora il numero di cammini che partono da (0,0) e arrivano a $(N,s)$, con $s>0$ senza mai andare in negativo (quindi cammini positivi) è data da (nota che $(N,s)$ o sono entrambi pari o entrambi dispari, altrimenti il cammino non è possibile farlo)
[tex]\binom{p+q}{q}\frac{p-q}{p+q}[/tex] dove [tex]p=\frac{N+s}{2};q=\frac{N-s}{2}[/tex]
A questo punto puoi sommare su tutti gli $s$ dispari (se N è dispari) da 1 a N e dividere per tutti i percorsi possibili (cioè quelli che sono anche negativi e arrivano a un punto a caso con ascissa N). Il problema prende una sfumatura diversa al denominatore se imponi che la tua catena NON vada mai sotto $X_0+1,$ a quel punto devi fare attenzione al ragionamento, ma è simile a quello di prima.
Spero di aver detto le cose con chiarezza e che ti possano essere di aiuto in qualche modo, ciao!
guarda qualcosa puoi trovare qua (la bibbia della probabilità) http://books.google.it/books?id=OjCdpQQ ... &q&f=false per vedere il calcolo esatto delle cose...
tutto il capitolo che parte da pagina 94
In breve ti dico la formula finale se tu parti da (0,0) mettiamo (e quindi devi immaginarti che $x_0+1$ corrisponde al -1 di questa camminata, poco male è soloun grafico alla fine
), puoi immaginare di spostarti su e giù andando o in (1,1) o in (-1,-1) e così via (praticamente a ogni nuovo tempo ti sposti in avanti nelle ascisse e su e giù in modo simmetrico sulle ordinate). Se fissi un ascissa, $N$ che sono il numero di passi che vuoi fare, allora il numero di cammini che partono da (0,0) e arrivano a $(N,s)$, con $s>0$ senza mai andare in negativo (quindi cammini positivi) è data da (nota che $(N,s)$ o sono entrambi pari o entrambi dispari, altrimenti il cammino non è possibile farlo)[tex]\binom{p+q}{q}\frac{p-q}{p+q}[/tex] dove [tex]p=\frac{N+s}{2};q=\frac{N-s}{2}[/tex]
A questo punto puoi sommare su tutti gli $s$ dispari (se N è dispari) da 1 a N e dividere per tutti i percorsi possibili (cioè quelli che sono anche negativi e arrivano a un punto a caso con ascissa N). Il problema prende una sfumatura diversa al denominatore se imponi che la tua catena NON vada mai sotto $X_0+1,$ a quel punto devi fare attenzione al ragionamento, ma è simile a quello di prima.
Spero di aver detto le cose con chiarezza e che ti possano essere di aiuto in qualche modo, ciao!
Premetto che sono nuovo per cui scusatemi subito per eventuali errori.
Ci sono due cose che innanzitutto non mi sono molto chiare:
1) il problema in se per se;
2) ad un certo punto avevate parlato di albero e passeggiata.
Per quanto riguarda la seconda non sono uguali perchè una ha una struttura additiva (la passeggiata che è quella di cui staremmo parlando) l'altra è moltiplicativa.
Per la prima vediamo un po':
consideriamo $x_0=0$ per semplicità (non cambia nulla);
allora noi abbiamo delle v.a. $Y_i$ che sono i.i.d. Bernulliane di parametro $ frac{1}{2} $; ora $ X_N=sum_{i=1}^NY_i $.
Ora tu vuoi trovare la probabilità che il processo non tocchi mai un certo valore ($1$)?
Ovvero se considerassi un processo con una barriera assorbente, tu vuoi trovare la probabilità che non sia assorbito?
In questo caso devi calcolare $P(max\quad X(s)<1)$ con $1leqsleqN$ (avrei dovuto scrivero sotto il max ma non so come si fa. FATEMELO SAPERE)
Questi sono i risultati che mi sono venuti
dovrebbero (il condizionale è d'obbligo) essere giusti
N p Traiettorie
[1,] 0.5000000 1
[2,] 0.5000000 2
[3,] 0.3750000 3
[4,] 0.3750000 6
[5,] 0.3125000 10
[6,] 0.3125000 20
[7,] 0.2734375 35
[8,] 0.2734375 70
[9,] 0.2460937 126
[10,] 0.2460937 252
Fammi sapere ciao
Ci sono due cose che innanzitutto non mi sono molto chiare:
1) il problema in se per se;
2) ad un certo punto avevate parlato di albero e passeggiata.
Per quanto riguarda la seconda non sono uguali perchè una ha una struttura additiva (la passeggiata che è quella di cui staremmo parlando) l'altra è moltiplicativa.
Per la prima vediamo un po':
consideriamo $x_0=0$ per semplicità (non cambia nulla);
allora noi abbiamo delle v.a. $Y_i$ che sono i.i.d. Bernulliane di parametro $ frac{1}{2} $; ora $ X_N=sum_{i=1}^NY_i $.
Ora tu vuoi trovare la probabilità che il processo non tocchi mai un certo valore ($1$)?
Ovvero se considerassi un processo con una barriera assorbente, tu vuoi trovare la probabilità che non sia assorbito?
In questo caso devi calcolare $P(max\quad X(s)<1)$ con $1leqsleqN$ (avrei dovuto scrivero sotto il max ma non so come si fa. FATEMELO SAPERE)
Questi sono i risultati che mi sono venuti
dovrebbero (il condizionale è d'obbligo) essere giusti
N p Traiettorie
[1,] 0.5000000 1
[2,] 0.5000000 2
[3,] 0.3750000 3
[4,] 0.3750000 6
[5,] 0.3125000 10
[6,] 0.3125000 20
[7,] 0.2734375 35
[8,] 0.2734375 70
[9,] 0.2460937 126
[10,] 0.2460937 252
Fammi sapere ciao
Ciao DajeForte
per quanto riguarda la disputa tra albero e passeggiata l'ho affrontata in precedenza spiegando perchè, nel mio caso, si possono intendere come identiche. Per usare le tue parole, nel mio caso considero una struttura additiva anche per l'albero, se poi violo i diritti di qualche autore che la impone moltiplicativa mi scuso. l'importante è capirci.
Tornando a noi, la tua esposizione del problema è corretta, hai capito sicuramente bene!
I risultati che ottieni sembrano proprio corretti. Coincidono con quelli trovati da me ed anche con quelli di simulazione
(per $N=1,3,5$ non ci sono dubbi).
Penso proprio che tu abbia trovato il bandolo della matassa, l'unica puntualizzazione sta nel fatto che, credo, per N=pari tu intenda $X(s)<=1$ per $0<=s<=N$ ma poco male.
Se mi fai la cortesia di scrivere l'algoritmo da cui hai ricavato i risultati, il problema è risolto.
Grazie mille
per quanto riguarda la disputa tra albero e passeggiata l'ho affrontata in precedenza spiegando perchè, nel mio caso, si possono intendere come identiche. Per usare le tue parole, nel mio caso considero una struttura additiva anche per l'albero, se poi violo i diritti di qualche autore che la impone moltiplicativa mi scuso. l'importante è capirci.
Tornando a noi, la tua esposizione del problema è corretta, hai capito sicuramente bene!
I risultati che ottieni sembrano proprio corretti. Coincidono con quelli trovati da me ed anche con quelli di simulazione
(per $N=1,3,5$ non ci sono dubbi).
Penso proprio che tu abbia trovato il bandolo della matassa, l'unica puntualizzazione sta nel fatto che, credo, per N=pari tu intenda $X(s)<=1$ per $0<=s<=N$ ma poco male.
Se mi fai la cortesia di scrivere l'algoritmo da cui hai ricavato i risultati, il problema è risolto.
Grazie mille
Tranquillo non violi i diritti,
l'unica cosa è che se è additiva cioè sommi puoi arrivare a punti negativi; dove tu hai detto 1/{1+i} la tu procedi ad ogni passo non sommando ma moltiplicando.
D'altronde se sommi puoi raggiungere valori negativo.
Per quanto riguarda N pari tu hai che $P(X(0)=0)=1$ cioè parti quasi certamente da $0leq1$.
Ciao
l'unica cosa è che se è additiva cioè sommi puoi arrivare a punti negativi; dove tu hai detto 1/{1+i} la tu procedi ad ogni passo non sommando ma moltiplicando.
D'altronde se sommi puoi raggiungere valori negativo.
Per quanto riguarda N pari tu hai che $P(X(0)=0)=1$ cioè parti quasi certamente da $0leq1$.
Ciao
Non ho capito quello che intendi nell'ultima riga, ma comunque non ha importanza.
Invece è importante darmi la formula con cui hai ottenuto i risultati che hai esposto. Visto che sei arrivato ad $N=10$ spero (suppongo) che tu abbia trovato una formula generalizzabile e non abbia solo contato manualmente, o si?
Spero che tu abbia una formula o comunque un buon punto di partenza per essa,
potresti illuminarmi?
Invece è importante darmi la formula con cui hai ottenuto i risultati che hai esposto. Visto che sei arrivato ad $N=10$ spero (suppongo) che tu abbia trovato una formula generalizzabile e non abbia solo contato manualmente, o si?
Spero che tu abbia una formula o comunque un buon punto di partenza per essa,
potresti illuminarmi?
$P(max_{1<=s<=N} X(s)>=k)=2P(X(N)>=k)-P(X(N)=k)$
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