Aiuto su Algebra delle Variabili Casuali
Salve ragazzi mi servirebbe una mano per affrontare un esame di calcolo delle probabilità che mi sta dando non pochi problemi.Premetto di essermi già rivisto la parte riguardo al calcolo combinatorio e agli assiomi della probabilità classica.
Sto trovando però parecchia difficoltà con le variabili aleatorie, in particolare quando mi si chiede di calcolare, date due variabili X1 e X2, le densità e la funzione di ripartizione delle variabili: Z=X1+X2 , W=X1-X2, Y=X1X2 e V=X1/X2.
Il primo problema è che sul libro questi argomenti vengono trattati poco, ci sono solo alcuni esempi ma non commentati, semplicemente risolti (proprio la successione dei passaggi matematici). Quindi in primis vi volevo chiedere se mi sapete consigliare un buon libro di statistica e probabilità ( vi allego il sito del corso con il programma https://sites.google.com/site/orsingher ... n-lectures)
Veniamo ora ai problemi "matematici". Leggendo sul libro nel caso di Z è possibile calcolare la densità di quest'ultima tramite convoluzione. Ora mi domandavo se prendiamo ad esempio due variabili uniformi definite in (0,1), per calcolare la densità di Z si ha che:
$ f_Z(z)= \int_{-\infty}^{\infty} f(z-x)f(x)dx $
dove la variabile che "trasla" è $f(z-x)$ la quale essendo una v.a. uniforme è definita per $0< z-x<1$ ovvero per $z-1
\begin{cases}
f_z(z)=0& \text{ if } z<0 \\
f_z(z)=z& \text{ if } 0
\end{cases}
è corretto il ragionamento? Se avessimo avuto due v.a esponenziali, la funzione f(z-x) avrebbe avuto come estremi $0
Quindi la funzione f(z-x) come in teoria dei segnali oltre ad avere gli estremi dipendenti dal parametro z sarà anche "ribaltata"?
Per gli altri casi invece non mi è chiaro se si può comunque procedere tramite convoluzione o se invece ciò non è possibile. Sul libro procede calcolando la funzione di ripartizione ponendo una variabile in funzione dell'altra, ad esempio per $Y=X_1X_2$, si calcola $P(Y
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto
Sto trovando però parecchia difficoltà con le variabili aleatorie, in particolare quando mi si chiede di calcolare, date due variabili X1 e X2, le densità e la funzione di ripartizione delle variabili: Z=X1+X2 , W=X1-X2, Y=X1X2 e V=X1/X2.
Il primo problema è che sul libro questi argomenti vengono trattati poco, ci sono solo alcuni esempi ma non commentati, semplicemente risolti (proprio la successione dei passaggi matematici). Quindi in primis vi volevo chiedere se mi sapete consigliare un buon libro di statistica e probabilità ( vi allego il sito del corso con il programma https://sites.google.com/site/orsingher ... n-lectures)
Veniamo ora ai problemi "matematici". Leggendo sul libro nel caso di Z è possibile calcolare la densità di quest'ultima tramite convoluzione. Ora mi domandavo se prendiamo ad esempio due variabili uniformi definite in (0,1), per calcolare la densità di Z si ha che:
$ f_Z(z)= \int_{-\infty}^{\infty} f(z-x)f(x)dx $
dove la variabile che "trasla" è $f(z-x)$ la quale essendo una v.a. uniforme è definita per $0< z-x<1$ ovvero per $z-1
\begin{cases}
f_z(z)=0& \text{ if } z<0 \\
f_z(z)=z& \text{ if } 0
\end{cases}
è corretto il ragionamento? Se avessimo avuto due v.a esponenziali, la funzione f(z-x) avrebbe avuto come estremi $0
Quindi la funzione f(z-x) come in teoria dei segnali oltre ad avere gli estremi dipendenti dal parametro z sarà anche "ribaltata"?
Per gli altri casi invece non mi è chiaro se si può comunque procedere tramite convoluzione o se invece ciò non è possibile. Sul libro procede calcolando la funzione di ripartizione ponendo una variabile in funzione dell'altra, ad esempio per $Y=X_1X_2$, si calcola $P(Y
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto
Risposte
sul forum avrò risolto qualche centinaio (ma parecchie centinaia) di esercizi sulle trasformazioni di vettori aleatori. Tutti risolti e commentati nei dettagli.
In oltre 3 anni di intensa attività, abbiamo una selezione di esercizi dai più semplici ai più sofisticati che difficilmente potrai trovare su qualsivoglia libro o eserciziario.....
basta usare la funzione cerca
Questo è ciò che esce semplicemente digitando vettore aleatorio che ovviamente non è l'unica chiave di ricerca....tieni presente che ci sono diversi link anche all'interno dei singoli topics...secondo me hai da leggere per i prossimi anni.....
In oltre 3 anni di intensa attività, abbiamo una selezione di esercizi dai più semplici ai più sofisticati che difficilmente potrai trovare su qualsivoglia libro o eserciziario.....
basta usare la funzione cerca
Questo è ciò che esce semplicemente digitando vettore aleatorio che ovviamente non è l'unica chiave di ricerca....tieni presente che ci sono diversi link anche all'interno dei singoli topics...secondo me hai da leggere per i prossimi anni.....
Ho guardato alcuni esercizi sul forum ma mi domandavo se mi potevi linkare qualche dispensa che tratta l'argomento delle trasformazioni di variabili aleatorie in modo da vedere un pò di teoria prima di affrontare gli esercizi dato che quest'argomento sul libro che ho non viene trattato e quel poco che so fare l'ho dedotto piuttosto meccanicamente dagli esercizi
purtroppo è un argomento trattato sempre molto sinteticamente (e, secondo me, anche piuttosto male) in generale. E' per questo che ci sono così tanti topic sull'argomento.
In generale ci sono diversi metodi da utilizzare:
1) La convoluzione....la lascerei perdere perché fondamentalmente serve per la somma di variabili indipendenti
2) Il metodo della funzione di ripartizione (quello che hai citato tu)
3) Il metodo dello jacobiano (che trovi sicuramente sul libro)
Il mio consiglio è quello di provare con esercizi semplici...per ogni richiesta siamo qui.
Per calcolare la CDF di $Z=g(X,Y)$ con il metodo della funzione di ripartizione, in generale basta risolvere il seguente integrale
$F_Z(z)=intint_(g(X,Y)<=z)f(x,y)dxdy$
e quindi il problema si sposta alla risoluzione di integrali doppi...disegni il dominio e vedi gli estremi di integrazione.
Ti faccio alcuni esempi con due uniformi indipendenti su $[0;1]$, tanto per chiarirti facilemente le idee.....
Prendiamo due uniformi indipendenti su $[0;1]$, quindi con funzione di densità congiunta costante e pari a 1
Cerchiamo di calcolare $Z=XY$ con il metodo della Funzione di Ripartizione
In base alla definizione otteniamo
$F_Z(z)=P(Z<=z)=P(XY<=z)=P(Y<=z/X)$
disegnamo il tutto
e vediamo che la probabilità cercata (in funzione di $Z=z$) è l'area colorata, pari a
$F_Z(z)=z+int_(z)^(1)z/x dx=z+zlogz$
fine.
prova tu ora, sulla stessa falsariga a cercare la distribuzione di
$Z=X+Y$ (non con la convoluzione ma con il metodo della funzione di ripartizione)
$Z=X/Y$
$Z=X/(X+Y)$
$Z=|X-Y|$
$Z=X-Y$
ecc ecc
Questi esempi li trovi tutti già risolti e commentati sul forum, basta cercare
In generale ci sono diversi metodi da utilizzare:
1) La convoluzione....la lascerei perdere perché fondamentalmente serve per la somma di variabili indipendenti
2) Il metodo della funzione di ripartizione (quello che hai citato tu)
3) Il metodo dello jacobiano (che trovi sicuramente sul libro)
Il mio consiglio è quello di provare con esercizi semplici...per ogni richiesta siamo qui.
Per calcolare la CDF di $Z=g(X,Y)$ con il metodo della funzione di ripartizione, in generale basta risolvere il seguente integrale
$F_Z(z)=intint_(g(X,Y)<=z)f(x,y)dxdy$
e quindi il problema si sposta alla risoluzione di integrali doppi...disegni il dominio e vedi gli estremi di integrazione.
Ti faccio alcuni esempi con due uniformi indipendenti su $[0;1]$, tanto per chiarirti facilemente le idee.....
Prendiamo due uniformi indipendenti su $[0;1]$, quindi con funzione di densità congiunta costante e pari a 1
Cerchiamo di calcolare $Z=XY$ con il metodo della Funzione di Ripartizione
In base alla definizione otteniamo
$F_Z(z)=P(Z<=z)=P(XY<=z)=P(Y<=z/X)$
disegnamo il tutto
e vediamo che la probabilità cercata (in funzione di $Z=z$) è l'area colorata, pari a
$F_Z(z)=z+int_(z)^(1)z/x dx=z+zlogz$
fine.
prova tu ora, sulla stessa falsariga a cercare la distribuzione di
$Z=X+Y$ (non con la convoluzione ma con il metodo della funzione di ripartizione)
$Z=X/Y$
$Z=X/(X+Y)$
$Z=|X-Y|$
$Z=X-Y$
ecc ecc
Questi esempi li trovi tutti già risolti e commentati sul forum, basta cercare
"arnett":
per gli altri casi ti chiederei degli esempi.
@marco_1004: ovviamente ogni richiesta aprendo un nuovo topic.
@arnett: se li risolverai tu lascio un po' perdere di intervenire sempre, visto che sto partendo per gli States
Giusto perché lo ritengo molto interessante vi evidenzio questo
e questo, anche se va un po' aldilà dei normali esercizi
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