Aiuto quesito tennis
gentili utenti
da un po di tempo sto provando a capirci qualcosa sul calcolo delle probabilità , ma essendo una materia nuova per me non riesco a risolvere un problema che mi si è presentato .
se qualcuno in questo sito è così gentile da aiutarmi io espongo il mio quesito qui sotto .
avete presente come sono fatti i contenitori per palline da tennis? sono cilindrici e le palline sono contenute all interno di questi una sopra l altra in modo verticale nel mio esempio.
quesito :
se io ho disposti uno di fianco all atro 8 contenitori che contengono 4 palline da tennis ed 1 che ne contiene 5 e posta la condizione che le palline da tennis cadano dall alto dentro questi contenitori ed attraverso un sistema di canalizzazione possono cadere soltanto dentro i 9 contenitori ; e posta la condizione che fuoriescano soltanto le palline che cadono dentro i contenitori gia riempiti.
facendo cadere 30 palline , quante probabilità ho che si riempia 1 contenitore ? e 2 contenitori ? e 3 contenitori ?
quali sono invece le probabilità per il verificarsi degli stessi tre eventi facendo cadere 35 palline ? e 40 palline ?
penso di chiedere tanto con questo quesito , ma io non riesco a risolverlo e chiedo aiuto a voi .
e secondo voi qual è il momento più probabile (se c é ) perchè i contenitori si riempiano completamente ?
cordiali saluti , spero in una risposta
da un po di tempo sto provando a capirci qualcosa sul calcolo delle probabilità , ma essendo una materia nuova per me non riesco a risolvere un problema che mi si è presentato .
se qualcuno in questo sito è così gentile da aiutarmi io espongo il mio quesito qui sotto .
avete presente come sono fatti i contenitori per palline da tennis? sono cilindrici e le palline sono contenute all interno di questi una sopra l altra in modo verticale nel mio esempio.
quesito :
se io ho disposti uno di fianco all atro 8 contenitori che contengono 4 palline da tennis ed 1 che ne contiene 5 e posta la condizione che le palline da tennis cadano dall alto dentro questi contenitori ed attraverso un sistema di canalizzazione possono cadere soltanto dentro i 9 contenitori ; e posta la condizione che fuoriescano soltanto le palline che cadono dentro i contenitori gia riempiti.
facendo cadere 30 palline , quante probabilità ho che si riempia 1 contenitore ? e 2 contenitori ? e 3 contenitori ?
quali sono invece le probabilità per il verificarsi degli stessi tre eventi facendo cadere 35 palline ? e 40 palline ?
penso di chiedere tanto con questo quesito , ma io non riesco a risolverlo e chiedo aiuto a voi .
e secondo voi qual è il momento più probabile (se c é ) perchè i contenitori si riempiano completamente ?
cordiali saluti , spero in una risposta
Risposte
Non mi sembra un problema semplice da risolvere.
Iniziamo col dire che la variabile aleatoria di riferimento dovrebbe essere una multinomiale.
Assumo che ogni pallina può cadere in uno dei nove contenitori con uguale probabilità $p=1/9$.
Supponiamo di ripetere $n=30$ volte l'esperimento (cioè facciamo cadere 30 palline).
Mediante la distribuzione multinomiale possiamo valutare la probabilità che in ciascuno dei 9 contenitori ci sia una certa distribuzione di palline.
Ad esempio, la probabilità che le palline cadute nei 9 contenitori siano: [4,2,8,4,1,0,2,5,4] è $P=(30!)/(4!*2!*8!*4!*1!*0!*2!*5!*4!)*(1/9)^30$
La difficoltà sta nell'utilizzare questa formula per rispondere alla domanda che hai posto.
Vogliamo ad esempio la probabilità che un solo contenitore sia pieno. Possiamo realizzare questo evento in parecchi modi diversi, tenendo conto dei limiti di capacità di ciascun contenitore (i primi 8 con al massimo 4 palline e il nono fino a 5 palline).
Ad esempio abbiamo gli eventi favorevoli [30,0,0,0,0,0,0,0,0], [29,1,0,0,0,0,0,0,0], ..., [5,3,3,3,3,3,3,3,4]
Ciacuno di questi eventi ha una diversa probabilità di realizzarsi, ottenibile con la suddetta formula della distribuzione multinomiale.
Credo che questa strada sia troppo complicata da gestire e ritengo che in questo caso sia preferibile ricorrere ad una simulazione, ottenendo in tal modo una stima delle probabilità richieste.
Dalla simulazione che ho fatto ho ottenuto questo grafico:
I contenitori sono "al limite" con $3*8+4=28$ palline, per cui è ovvio che con 30 o più palline è certo che almeno un contenitore sia pieno (la probabilità di avere 0 contenitori pieni è 0%).
Per riempire tutti e 9 i contenitori servono almeno $4*8+5=37$ palline, per cui con 30 e 35 palline la probabilità di riempire tutti e 9 i contenitori è uguale a zero.
Per riempire 8 contenitori servono almeno $4*8=32$ palline, per cui con 30 palline la probabilità di riempire 8 contenitori è uguale a zero.
La stima delle probabilità che ho ottenuto dalla simulazione è la seguente:
Ovviamente non avrai mai la certezza di riempire tutti i contenitori.
Facendo cadere 100 palline la probabilità che siano tutti pieni è circa 96.5%.
(ovviamente potresti anche essere così "sfortunato" da riempirne uno solo )
Iniziamo col dire che la variabile aleatoria di riferimento dovrebbe essere una multinomiale.
Assumo che ogni pallina può cadere in uno dei nove contenitori con uguale probabilità $p=1/9$.
Supponiamo di ripetere $n=30$ volte l'esperimento (cioè facciamo cadere 30 palline).
Mediante la distribuzione multinomiale possiamo valutare la probabilità che in ciascuno dei 9 contenitori ci sia una certa distribuzione di palline.
Ad esempio, la probabilità che le palline cadute nei 9 contenitori siano: [4,2,8,4,1,0,2,5,4] è $P=(30!)/(4!*2!*8!*4!*1!*0!*2!*5!*4!)*(1/9)^30$
La difficoltà sta nell'utilizzare questa formula per rispondere alla domanda che hai posto.
Vogliamo ad esempio la probabilità che un solo contenitore sia pieno. Possiamo realizzare questo evento in parecchi modi diversi, tenendo conto dei limiti di capacità di ciascun contenitore (i primi 8 con al massimo 4 palline e il nono fino a 5 palline).
Ad esempio abbiamo gli eventi favorevoli [30,0,0,0,0,0,0,0,0], [29,1,0,0,0,0,0,0,0], ..., [5,3,3,3,3,3,3,3,4]
Ciacuno di questi eventi ha una diversa probabilità di realizzarsi, ottenibile con la suddetta formula della distribuzione multinomiale.
Credo che questa strada sia troppo complicata da gestire e ritengo che in questo caso sia preferibile ricorrere ad una simulazione, ottenendo in tal modo una stima delle probabilità richieste.
Dalla simulazione che ho fatto ho ottenuto questo grafico:
I contenitori sono "al limite" con $3*8+4=28$ palline, per cui è ovvio che con 30 o più palline è certo che almeno un contenitore sia pieno (la probabilità di avere 0 contenitori pieni è 0%).
Per riempire tutti e 9 i contenitori servono almeno $4*8+5=37$ palline, per cui con 30 e 35 palline la probabilità di riempire tutti e 9 i contenitori è uguale a zero.
Per riempire 8 contenitori servono almeno $4*8=32$ palline, per cui con 30 palline la probabilità di riempire 8 contenitori è uguale a zero.
La stima delle probabilità che ho ottenuto dalla simulazione è la seguente:
secondo voi qual è il momento più probabile (se c é ) perchè i contenitori si riempiano completamente ?
Ovviamente non avrai mai la certezza di riempire tutti i contenitori.
Facendo cadere 100 palline la probabilità che siano tutti pieni è circa 96.5%.
(ovviamente potresti anche essere così "sfortunato" da riempirne uno solo
)
ti ringrazio per questa ottima risposta ; mi sembra tuttavia di avere capito che tu abbia tralasciato il fatto che non tutte (prendendo in considerazione il tuo primo esempio di 30 palline) le 30 palline cadano obbligatoriamente dentro un contenitore .
infatti le palline che cadono sopra un contenitore già riempito non possono entrare in un altro contenitore per metà vuoto per esempio.
quindi se una pallina cade sopra un contenitore già riempito questa viene perduta e non può essere conteggiata nel calcolo della probabilità per riempire altri contenitori, così via anche per le altre palline che casualmente cadranno sopra contenitori già riempiti.
immagino quindi che il calcolo risulti ancora più complesso vero ?
comunque mi è piaciuto molto il tuo grafico con i tre colori , molto soddisfacente e di facile interpretazione , riusciresti a riprovarci con le sopraelencate indicazioni ?
infatti le palline che cadono sopra un contenitore già riempito non possono entrare in un altro contenitore per metà vuoto per esempio.
quindi se una pallina cade sopra un contenitore già riempito questa viene perduta e non può essere conteggiata nel calcolo della probabilità per riempire altri contenitori, così via anche per le altre palline che casualmente cadranno sopra contenitori già riempiti.
immagino quindi che il calcolo risulti ancora più complesso vero ?
comunque mi è piaciuto molto il tuo grafico con i tre colori , molto soddisfacente e di facile interpretazione , riusciresti a riprovarci con le sopraelencate indicazioni ?
"aisi":
mi sembra tuttavia di avere capito che tu abbia tralasciato il fatto che non tutte (prendendo in considerazione il tuo primo esempio di 30 palline) le 30 palline cadano obbligatoriamente dentro un contenitore .
Certo che ne ho tenuto conto.
Quando ho scritto l'evento [4,2,8,4,1,0,2,5,4] si intende che abbiamo 4 contenitori pieni:
Il primo con 4 palline, il terzo con 4 palline (più altre 4 palline perse: 4+4=8), il quarto contenitore con 4 palline, l'ottavo contenitore con 4 palline (più una persa: 4+1=5). L'ultimo contenitore non è pieno poichè ci sono 4 palline e la sua capienza è 5.
In totale abbiamo lanciato 4+2+8+4+1+0+2+5+4=30 palline. Di queste ne sono andate perse 4+1=5.
Del resto, come ho già scritto, per riempire tutti i 9 contenitori servono almeno 37 palline. Con 40 palline ciò è possibile, ma è molto raro (come evidenzia il grafico di colore verde; p=0.0004710). Ciò è dovuto proprio alle palline perse.
Una curiosità: come è nato questo problema ?
(e poi perchè un unico contenitore di 5 palline?)
quindi scusa la mia ignoranza ma nella linea verticale il valore 0,4 stà ad indicare 40 % di probabilità ? (poi risponderò anche alla tua curiosità) 
"aisi":
quindi scusa la mia ignoranza ma nella linea verticale il valore 0,4 stà ad indicare 40 % di probabilità ?
Esatto. Ad esempio, per n=30 palline hai una probabilità del 42,8% di riempire esattamente 4 contenitori (qualsiasi).
Ho preferito chiamarla frequenza perchè non è il risultato di un calcolo teorico esatto, ma il rapporto tra successi e prove in una simulazione di 2 milioni di prove.
ok .sai prima ti avevo anche mandato un messaggio nella posta privata
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