4 esercizi facili di probabilità, #1

[Quinzio]

Salve a tutti, vorrei chiedere gentilmente una conferma per questi esercizi di probabilità elementare. Sono davvero alle prime armi, anche se la materia mi sembra abbastanza intuitiva, almeno a questo livello, e vorrei qualche conferma.
Metto un esercizio in ogni singolo post per facilitare i commenti.

Allora, ecco il primo:

Esercizio 1. Tre monete indistinguibili esteriormente hanno rispettivamente probabilita'
$P_1=1/2$, $P_2=1/3$ e $P_3=1/4$ di uscita della testa:
Si prende una moneta a caso e la si lancia piu` volte. Determinare:
a) la probabilita` che non esca mai testa su due lanci;
b) la probabilita` che esca esattamente una testa su due lanci;
c) la probabilita` che la moneta estratta sia quella equilibrata se non esce mai testa su tre lanci;
d) la probabilita` che esca testa al secondo lancio sapendo che ` uscita testa al primo lancio.

Con una notazione che mi sembra utile definisco $\barP=1-P$
a) $P=1/3((\barP_1 \barP_2)+(\barP_1 \barP_3)+(\barP_2 \barP_3))= 1/3(2/6+3/8+6/12)=29/72$
Ovvero le monete indistinguibili posso capitare a coppie 12, 23, 13 in modo equiprobabile, e per ciascuna coppia la prob. che non esca mai testa è la prob. che escano due croci.

b) Se capita ad es la coppia 12, la prob. di 1 testa su 2 lanci è: $1/2(P_1\barP_2+\barP_1P_2)$.
Quindi per le 3 coppie le probabilità sono:
12) $1/2(P_1\barP_2+\barP_1P_2)= 1/2(2/6+1/6)=1/4 $
23) $1/2(P_2\barP_3+\barP_2P_3)= 1/2(3/12+2/12)=5/24 $
13) $1/2(P_1\barP_3+\barP_1P_3)= 1/2(3/8+1/8)=1/4 $

La prob. totale è la media dei 3 eventi equiprobabili di accoppiamento delle monete, ovvero $17/72$.

c) Qui bisognerebbe usare Bayes, ma dal punto a) so già che le prob. che non esca mai testa per le 3 coppie di monete sono:
12) $2/6$
23) $3/8$
12) $6/12$
Mi sembra chiaro che la prob. che la moneta 1 sia tra le 2 lanciate è $(2/6+6/12)/(2/6+3/8+6/12)=20/29$

d) E' una probabilità condizionata: $P(A|B)=(P(A\nnB))/(P(B))= ((P_1P_2+P_1P_3+P_2P_3)/3)/((P_1+P_2+P_3)/3)=(1/6+1/8+1/12)/(1/2+1/3+1/4)=9/26$

[superpippone]

Qua c'è qualcosa di sbagliato.
Il testo, da te scritto, dice: "Si prende una moneta a caso e la si lancia più volte."
Mi sembra chiaro che è sempre la stessa moneta ad essere lanciata.
Tu fai tutti i conteggi a "coppie". Cioè, invece di lanciare due volte la stessa moneta, lanci una volta ciascuna due monete diverse.
Non è quanto richiesto dal problema.

[Quinzio]

Si hai ragione. Ho perso di vista il quesito mentre lo svolgevo.
Thanks.